Anwendungen Dopplereffekt | © C. Wolfseher

Buys Ballot sah damals die einzige praktische Anwendung des Dopplereffekts darin, dass vielleicht irgendwann bessere Musikinstrumente gebaut werden können. Doch — wie so oft in der Wissenschaft — erwies sich auch beim Dopplereffekt die Tragweite der Entdeckung erst später.

Mit der Dopplersonographie lässt sich beispielsweise Herzinfarkten vorbeugen. Dazu bestimmt man die Strömungsgeschwindigkeit des Blutes durch Messung der Frequenzänderung von Ultraschall, der an fließenden Blutkörperchen reflektiert wird.

Hier das Prinzip:

Schallkopf auf der Haut ohne invasiven Eingriff sendet Ultraschall mit Frequenz $f_S$
mit $v$ vom Schallkopf weg fließendes Blutkörperchen emfängt $f_B=\frac{c-v}{c}\cdot f_S \quad (4)$
Schallkopf empfängt vom Blutkörperchen reflektiertes Echo mit $f_E=\frac{c}{c+v}\cdot f_B \quad (2)$
(4) in (2) liefert $f_E=\frac{c}{c+v}\cdot\frac{c-v}{c}\cdot f_S=\frac{c-v}{c+v}\cdot f_S$

Die vom Schallkopf gesendete Frequenz unterscheidet sich also von der empfangenen um

\begin{align} \Delta f = f_S-f_E = \cssId{Step0}{f_S-\frac{c-v}{c+v}\cdot f_S=} \cssId{Step1}{\left(1-\frac{c-v}{c+v}\right)\cdot f_S=} \cssId{Step2}{\left(\frac{c+v}{c+v}-\frac{c-v}{c+v}\right)\cdot f_S=} \cssId{Step3}{\frac{2v}{c+v}\cdot f_S} \end{align}

Da die Fließgeschwindigkeit des Blutes von etwa 0,1 m/s bis 1 m/s $v$ viel kleiner als die Schallgeschwindigkeit in Blut ähnlich wie in Wasser knapp 1500 m/s $c$ ist, können wir mit $c+v\approx c$ in guter Näherung folgern: $$\Delta f \approx \frac{2v}{c}\cdot f_S$$

Dieses $\Delta f$ ist aber gerade die Frequenz der Schwebung Frequenz, mit der sich der Betrag der Einhüllenden verändert. , die sich bei der Überlagerung von hinlaufender und reflektierter Welle ergibt und vom Ultraschallgerät detektiert werden kann.

Obige Gleichung umgestellt ergibt $$v\approx \frac{\Delta f}{f_S}\cdot\frac{c}{2} $$ die Strömungsgeschwindigkeit des Blutes, aus deren Charakeristik der Arzt medizinische Rückschlüsse zieht.

Die Registrierung der Frequenzverschiebung von Echos erlauben auch der oder der Polizei Geschwindigkeitsbestimmungen von Insekten oder Rasern.

Aus der Astronomie und Kosmologie ist der optische Dopplereffekt nicht wegzudenken. So kann man zwar nicht — wie von Doppler in seiner Arbeit Ueber das farbige Licht der Doppelsterne vermutet — die von Doppelsternen aus dem Dopplereffekt ableiten, aber ihre Geschwindigkeiten, Bahnradien und Massen! Wie das geht, erfährst du auf der Seite Spektrosokopische Doppelsterne.

Aber die wohl größte Bedeutung kommt dem Dopplereffekt als Initialzünder für die Big Bang Theory zu.

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Redshift.svg

Untersucht man das Licht ferner Sonnen oder Galaxien, finden sich die gleichen charakeristischen Spektrallinien von Atomen und Molekülen wie im Labor auf der Erde. Aber ihre Frequenzen beziehungsweise Wellenlängen sind fast immer rotverschoben!

Zunächst erklärte man diese Rotverschiebungen nur mit dem Dopplereffekt und berechnete aus mit $$z=\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}-1$$ die Fluchtgeschwindigkeiten $v$ von Galaxien. Dabei ist die sogenannte das Verhältnis der Wellenlängenänderung $\Delta \lambda$ zur im Labor gemessenen Wellenlänge $\lambda_0$, also $$z=\frac{\Delta \lambda}{\lambda_0}$$

Ist $\lambda_0$ die im Labor gemessene Wellenlänge einer Spektrallinie und $\lambda_E$ die im Spektrum einer Galaxie empfangene, so gilt: $$\frac{\lambda_E}{\lambda_0}=\frac{\frac{c}{f_E}}{\frac{c}{f_0}}=\frac{f_0}{f_E}\overset{(6)}{=}\frac{1}{\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}}=\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}$$ Mit $$\frac{\lambda_E}{\lambda_0}=\frac{\lambda_0+\left(\cssId{mark}{\lambda_E-\lambda_0}\right)}{\lambda_0}=\frac{\lambda_0+\cssId{mark}{\Delta \lambda}}{\lambda_0}=1+\frac{\Delta \lambda}{\lambda_0}$$ erhalten wir insgesamt: $$1+\frac{\Delta \lambda}{\lambda_0}=\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}\qquad (7)$$ Üblicherweise wird die relative Rotverschiebung durch die Zahl $$z=\frac{\Delta \lambda}{\lambda_0}$$ angegeben. Dann liefert Formel (7) nach $v$ aufgelöst: $$v=\frac{\left(1+z\right)^2-1}{\left(1+z\right)^2+1}\cdot c \qquad(8)$$ Für den Fall $v \ll c $ Lorentzfaktor $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\approx 1$$ kann man in der ersten Zeile dieser Herleitung statt des relativisitischen Doppler-Faktors $\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}$ aus Formel (6) Sender und Empfänger entfernen sich voneinander$$f_E=\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}\cdot f_{S}$$ den Faktor $\frac{c}{c+v}=\frac{1}{1+\frac{v}{c}}$ aus Formel (2) Sender entfernt sich vom ruhenden Empfänger$$f_E=\frac{c}{c+v}\cdot f_S$$ verwenden und erhält dann statt Formel (8) die nichtrelativistische Näherung: $$v\approx z\cdot c$$ Rechenbeispiel: Quasar 3C 273 hat die Rotverschiebung $z=0,158$. Formel (8) liefert eine (Quasi-)Fluchtgeschwindigkeit $v\approx0,146 \, c$, knapp 44 Tausend km/s.
Angenommen $v \sim$ Entfernung $r$ des Quasars mit Proportionalitätskonstante $H_0=70\,\frac{\frac{\text{km}}{\text{s}}}{\text{Mpc}}$, dann ist $r= \frac{v}{H_0}\approx$ 624 Mpc Megaparsec
1 pc ≈ 3,086 · 10¹⁶ m $\approx$ 2 Milliarden Lj.

1929 stellte Edwin Hubble fest: $v$ ist proportional zur Entfernung $r$ einer Galaxie. Dies legt den Gedanken nahe, dass alle auseinander strebenden Himmelsörper einmal am selben Punkt gestartet sind. Denn eine doppelt so schnelle Galaxie konnte sich auch doppelt so weit entfernen. Bereits 1927 formulierte Georges Lemaître die Idee von einem expandierendem Universum, das in einem Urknall seinen Anfang nahm.

Diese Vorstellung steht auch im Einklang mit den 1922 von Alexander Friedmann berechneten Lösungen der Feldgleichungen Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie, gemäß derer das Universum nicht statisch sein kann. Während die Doppler-Rotverschiebung auf der Relativbewegung der Himmelskörper im Raum basiert, ist die Ursache der kosmologischen Rotverschiebung die Expansion des Raumes selbst — mitsamt der Himmelskörper. Mit der Raumzeit dehnt sich auch die Wellenlänge einer darin Lichtwelle. wie sich auf einem Luftballon fixierte Galaxien beim Aufblasen und aufgemalte Wellen strecken.

Ab Entfernungen von etwa 100 ist der Anteil der Doppler-Rotverschiebung im Vergleich zur kosmologischen verschwindend gering.

Unsere Nachbargalaxie, der Andromedanebel, ist allerdings nur 2,5 Millionen Lichtjahre entfernt. Ihr blauververschobenes Licht ist tatsächlich auf den zu unserer Milchstraße zurückzuführen. Homo sapiens wird beim Aufeinandertreffen der beiden Galaxien schon längst aus dem Universum verschwunden gewesen sein. Aber immerhin nicht ohne einige Geheimnisse des Kosmos enträtselt zu haben — auch dank Christian Doppler.