Dopplereffekt | bewegter Sender

Die Schallwelle eines Senders breitet sich relativ zur Luft mit der Schallgeschwindigkeit $c$ aus. Dabei legt eine Wellenfront während einer die $\lambda_S=c\cdot T$ zurück.

Bewegt sich der Sender mit der auf den Empfänger zu, eilt er während $T$ der hinlaufenden Wellenfront um $v\cdot T$ nach. Beim Empfänger treffen die Wellenfronten also im Abstand $$\lambda_E=\lambda_S - v \cdot T=c \cdot T-v \cdot T=(c-v)\cdot T$$ ein.

Mit der Wellenformel $c=\lambda\cdot f$ ergibt sich für die vom Empfänger registrierte Frequenz $f_E$: $$f_E=\frac{c}{\lambda_E}=\frac{c}{(c-v)\cdot T}$$ und mit der Senderfrequenz $f_S=\frac{1}{T}$

1. Fall: Sender nähert sich ruhendem Empfänger $$f_E=\frac{c}{c-v}\cdot f_S \qquad (1)$$

Kommt ein eine Stimmgabel mit $v$ auf uns zu, nehmen wir ihre Frequenz um den Faktor erhöht wahr.

Bewegt sich der Sender mit der vom Empfänger weg, vergrößert er während $T$ seinen Abstand zum Empfänger um $v\cdot T$. Beim Empfänger treffen die Wellenfronten also im Abstand $$\lambda_E=\lambda_S + v \cdot T=c \cdot T+v \cdot T=(c+v)\cdot T$$ ein. Wir müssen in (1) nur $-v$ durch $+v$ ersetzen und erhalten:

2. Fall: Sender entfernt sich vom ruhenden Empfänger $$f_E=\frac{c}{c+v}\cdot f_S \qquad (2)$$

Beim Vorbeifahren eines Senders sinkt die vom Empfänger wahrgenommene Frequenz $f_E$ von $\frac{c}{c-v}\cdot f_S$ auf $\frac{c}{c+v}\cdot f_S$, also um den Faktor: $$\frac{\frac{c}{c+v}\cdot f_S}{\frac{c}{c-v}\cdot f_S}=\frac{c-v}{c+v}$$

Der Zug von Utrecht nach Maarsen erreichte eine von etwa 70 km/h. Der Trompetenton nahm dann beim Vorbeifahren um rund einen Ganzton ab.

Mit Schallgeschwindigkeit $c = 1236$ km/h und Zuggeschwindigkeit $v=70$ km/h sinkt die Tonhöhe beim Vorbeifahren um den Faktor $$\frac{1236-70}{1236+70}=\frac{583}{653}\approx 0,893$$ In der zwölfstufigen Tonleiter unterscheidet sich die Frequenz direkter Nachbartöne einen Halbton entfernter um den Faktor $\sqrt[12]{2}$. Ein Ganzton tiefer entspricht also einer Frequenzabnahme um den Faktor $$\frac{1}{\sqrt[12]{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{2}}=\frac{1}{{\left(2^{\frac{1}{12}}\right)}^2}=\frac{1}{2^{\frac{2}{12}}}=\frac{1}{\sqrt[6]{2}}\approx 0,891$$

Spielte der Trompeter den Ton g¹ mit rund $392\text{ Hz}$, hörte man beim Herannahen des Zuges mit $$\frac{1236}{1236-70}\cdot 392 \text{ Hz}\approx 416 \text{ Hz}$$ ein (leicht erhöhtes) gis¹ und beim Entfernen mit $$\frac{1236}{1236+70}\cdot 392 \text{ Hz}\approx 371 \text{ Hz}$$ ein (leicht erhöhtes) fis¹.