Man kann eine Strecke auf viele Arten teilen:
Probier selbst:
Das
Teilverhältnis \(\varphi\approx 1,62\)
1,6180339887498948
482045868343656381
177203091798057628
621354486227052604
6281890244970720...
birgt ein nicht offensichtliches Alleinstellungsmerkmal in sich:
Der längere Teil \(a\) verhält sich zum kürzeren \(b\) wie die Gesamtlänge \(a+b\)
zum langen Teil \(a\).
$$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}=\varphi \qquad (1)$$
Dieses besondere Verhältnis taucht schon in Werken der Antike auf. Man nannte es stetige Teilung
, göttliche Proportion
und später
schließlich Goldener Schnitt
. Aus Gleichung (1) können wir den exakten Wert der Goldenen Zahl \(\varphi\)
berechnen:
$$\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \qquad (2)$$
\begin{align} \frac{a}{b}&=\frac{a+b}{a}\\ \frac{a}{b}&=\cssId{Step0}{1+\frac{b}{a}}\\ \varphi&=\cssId{Step1}{1+\frac{1}{\varphi} \qquad (3)}\\ \varphi^2&=\cssId{Step2}{\varphi +1} \end{align}
Die positive Lösung die negative ist $$-\frac{1}{\varphi}$$ der quadratischen Gleichung \(\varphi^2-\varphi-1=0\) ist die Goldene Zahl: $$\varphi_{1,\,2}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-1)}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$$
Bei der Berechnung des exakten Wertes von \(\varphi\) sind wir Formel (3) begegnet: $$\varphi=1+\frac{1}{\varphi}$$ \(\varphi\) unterscheidet sich um 1 von seinem Kehrwert. Man kann nun fortwährend für \(\varphi\) im Nenner des Bruchs den Term \(1+\frac{1}{\varphi}\) einsetzen:
$$\varphi=1+\frac{1}{\varphi}= 1+\frac{1}{1+\frac{1}{\varphi}}= 1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\varphi}}}= 1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\varphi}}}}=\cdots$$
minimaler Geschwindigkeit. \(\varphi\) wird deshalb auch die
irrationalsteφ ist von allen irrationalen Zahlen diejenige, die sich am schlechtesten durch einen Bruch annähern lässt. aller Zahlen genannt.
erstellt von C. Wolfseher