Goldener Schnitt | φ und Fibonacci

Heute ist wieder Teamarbeit im Mathe-Unterricht. Während ihre Mitschüler arbeiten, kritzelt Susi gelangweilt Quadrate auf ihr kariertes Papier.

Das Muster kommt ihr bekannt vor. Sieht wie ein Bild aus, das der Mathelehrer 'mal zeigte. Irgendwas mit goldener Schritt.

Tatsächlich hat Susi die Fibonacci-Folge entdeckt und tatsächlich hat die etwas mit dem goldenen Schnitt zu tun.

Fibonacci-Folge? Ist schnell erklärt:

Beginne mit 1 und 1 oder mit 0 und 1 .
Jede weitere Zahl ist die Summe ihrer beiden Vorgänger.

1 | 1

Ja! Das sind die Seitenlängen von Susis Quadraten. Aber warum bilden die — zumindest näherungsweise — das Auge Gottes? Zur Aufklärung benötigen wir die Kettenbruchdarstellung von $\varphi$ aus Kapitel 1: $$\varphi=1+\frac{1}{\varphi}= 1+\frac{1}{1+\frac{1}{\varphi}}= 1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\varphi}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\varphi}}}}=\cdots$$ Mit ihr berechnen wir der Reihe nach Näherungsbrüche $\varphi_i$ für das irrationale $\varphi$, indem wir jeweils den Summanden $\frac{1}{\varphi}$ unterschlagen:

\begin{align} \varphi_1 &=1\cancel{+\frac{1}{\varphi}}=1\\ \varphi_2 &=1+\frac{1}{1\cancel{+\frac{1}{\varphi}}}=1+\frac{1}{\varphi_1}=1+\frac{1}{1}=\frac{2}{1}\\ \varphi_3 &=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1\cancel{+\frac{1}{\varphi}}}}=1+\frac{1}{\varphi_2}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\\ \varphi_4 &=\cssId{Step0}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1\cancel{+\frac{1}{\varphi}}}}}=1+\frac{1}{\varphi_3}=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}}\\ \varphi_5 &=\ldots=\cssId{Step1}{1+\frac{1}{\varphi_4}=1+\frac{3}{5}=\frac{8}{5}}\\ \varphi_6 &=\ldots=\cssId{Step2}{1+\frac{1}{\varphi_5}=1+\frac{5}{8}=\frac{13}{8}}\\ \vdots\\ \end{align}

Entdeckt? Die Näherungsbrüche $\varphi_i$ sind jeweils das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen. Das große Rechteck in Susis Zeichnung hat beispielsweise das Seitenverhältnis $$\varphi_8 = \frac{34}{21}=1,\overline{619047}\approx \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618034$$ und ist daher mit bloßem Auge nicht mehr von einem goldenen Rechteck mit den Seitenlängen $21$ und $21\varphi$ zu unterscheiden.

Man kann beweisen: Je größer $i$, desto näher kommt Die Folge der $\varphi_i$ konvergiert nicht monoton. Die $\varphi_i$ sind abwechselnd größer oder kleiner als $\varphi$. $\varphi_i$ der Goldenen Zahl $$\varphi= \frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,6180339887498948482045868343656\ldots$$

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erstellt von C. Wolfseher