Goldener Schnitt | Konstruktion

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Statt ihn zu berechnen, kann man diesen irrationalen Schnitt $\varphi$ auch mit wenigen Zirkelschlägen konstruieren. Und das auf viele verschiedene Arten. Hier ein Klassiker nach Heron von Alexandria
1. Jh. n. Chr. zur Konstruktion der inneren Teilung:

Konstruiere den Mittelpunkt $M$ von $[AB]$ .
Errichte das Lot zu $AB$ in $B$ mit Länge $\overline{MB}$ und Endpunkt $C$ .
Der Kreis um $C$ durch $B$ schneidet $[AC]$ in $D$ .
Der Kreis um $A$ durch $D$ schneidet $[AB]$ in $T$ , wobei $\frac{\overline{AB}}{\overline{AT}}=\frac{\overline{AT}}{\overline{TB}}=\varphi$ .

Pythagoras liefert im $\Delta ABC$ : $c=\sqrt{s^2+{\left(\frac{s}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{5}{4}s^2}=\frac{s}{2}\sqrt{5}\qquad (*)$

Mit $\overline{AT}=\overline{AD}=c-\frac{s}{2}\overset{(*)}{=}\frac{s}{2}\sqrt{5}-\frac{s}{2}=\frac{s}{2}\left(\sqrt{5}-1\right)$ erhalten wir $\frac{\overline{AB}}{\overline{AT}}=\frac{s}{\frac{1}{2}s(\sqrt{5}-1)}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{4}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi \qquad q.e.d.$

Und hier noch eine flinke Konstruktion zur äußeren Teilung. Sie arbeitet wie die obige mit einem rechtwinkligen Dreieck, dessen eine Kathete doppelt so lang ist wie die andere:

Errichte das Lot zu $AT$ in $T$ mit Länge $\overline{AT}$ und Endpunkt $C$ .
Konstruiere den Mittelpunkt $M$ von $[AT]$ .
Der Kreis um $M$ durch $C$ schneidet $[AT$ in $B$ , wobei $\frac{\overline{AB}}{\overline{AT}}=\frac{\overline{AT}}{\overline{TB}}=\varphi$ .

Pythagoras liefert im $\Delta MTC$ : $r=\sqrt{a^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{5}{4}a^2}=\frac{a}{2}\sqrt{5}\qquad (*)$

Mit $\overline{AB}=\overline{AM}+\overline{MB}=\frac{a}{2}+r\overset{(*)}{=}\frac{a}{2}+\frac{a}{2}\sqrt{5}=\frac{a}{2}\left(1+\sqrt{5}\right)$ erhalten wir $\frac{\overline{AB}}{\overline{AT}}=\frac{\frac{1}{2}a(1+\sqrt{5})}{a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi \qquad q.e.d.$

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erstellt von C. Wolfseher