Werfen wir zur Abwechslung mit zwei Würfeln und betrachten die Augensumme. Zur Anwendung der Laplace-Formel benötigen wir alle möglichen Ergebnisse: {2, 3, 4, ..., 12}. 11 mögliche Ergebnisse. Also tritt jede Augensumme mit der Wahrscheinlichkeit 1/11 auf. Test:
Die Realität sieht anders aus. Die Augensummen sind nicht alle gleich wahrscheinlich! Warum? Während beispielsweise nur eine Kombination der Würfel "Augensumme 12" liefert, sind es für "Augensumme 7" sechs.
Folglich ist "Augensumme 7" wohl sechsmal wahrscheinlicher als "Augensumme 12". Dies bestätigen auch (bei einer großen Anzahl von Würfen) die Häufigkeiten der beiden Ereignisse.
Die Laplace-Formel darf nur angewendet werden, wenn alle möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind! Dies lässt sich durch eine alternative Ergebnismenge bewerkstelligen:
| Augensumme | 2 | 3 | 4 | ... | 12 | |||
| Würfel-Kombination | ⚀⚀ | ⚀⚁ | ⚁⚀ | ⚀⚂ | ⚂⚀ | ⚁⚁ | ... | ⚅⚅ |
Bei einem Wurf gibt es für den roten und blauen Würfel jeweils 6 mögliche Ergebnisse. Das ergibt 6 · 6 = 36 gleich wahrscheinliche Kombinationen, von denen 3 die Augensumme 10 liefern (⚃⚅, ⚅⚃, ⚄⚄). Also gilt nach Laplace: P("Augensumme10") = 3/36 ≈ 8,3 %
Auf diese Weise lässt sich auch die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augensumme beim Werfen von zwei, drei oder mehr Würfeln Statt 3 Würfel 1-mal kann man auch 1 Würfel 3-mal werfen. berechnen.
Du siehst: mit etwas Mathematik lassen sich auch Wahrscheinlichkeiten komplexer Ereignisse berechnen. Und die aufgrund dieser Wahrscheinlichkeiten vorhergesagten Ergebnisse decken sich wiederum erstaunlich gut mit der Realität. Allerdings nur, wenn wir viele Ergebnisse betrachten. Der einzelne Ausgang bleibt dem Zufall überlassen.
erstellt von C. Wolfseher