Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie kann man beweisen:
Wenn die Wahrscheinlichkeit, eine ⚅ zu würfeln, wirklich \(\frac{1}{6}\) ist, dann muss bei \(n=600\) Würfen mit mehr als \(\beta = 90 \) % Wahrscheinlichkeit die relative Häufigkeit der ⚅ zwischen 0,1186 und 0,2148 liegen. Die ⚅ fällt also mit mehr als 90 % Wahrscheinlichkeit zwischen 72- und 128-mal.
Wenn die Wahrscheinlichkeit, eine ⚅ zu würfeln, wirklich \(\frac{1}{6}\) ist, dann muss bei \(n=1000\) Würfen mit mehr als \(\beta = 50 \) % Wahrscheinlichkeit die relative Häufigkeit der ⚅ zwischen 0,15 und 0,1833 liegen. Die ⚅ fällt also mit mehr als 50 % Wahrscheinlichkeit zwischen 150- und 183-mal.
Hinter diesen Aussagen steckt die Tschebyschew-Ungleichung hier formuliert für \(k\) Treffer bei \(n\) unabhängigen Versuchen mit Treffer-wahrscheinlichkeit \(p\) , welche aus den Axiomen von Kolmogorow abgeleitet werden kann, ohne ein einziges Mal wirklich zu würfeln. Sie gestattet eine Abschätzung der Wahrscheinlichkeit \(\beta\) einer vorgegebenen Abweichung \(\varepsilon\) der relativen Häufigkeit \(\frac{k}{n}\) eines Ereignisses von seiner (unbekannten) \(p(1-p) \le \frac{1}{4}\) Wahrscheinlichkeit \(p\): $$P \left( \left| \frac{k}{n}-p \right| \lt \varepsilon \right) \ge 1- \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}$$
Die Ungleichung von Tschebyschew funktioniert auch für andere Zufallsexperimente.
Wenn die Münze wirklich fifty-fifty auf "Wappen" oder "Zahl" fällt, also \(p=0,5\) ist, dann fällt bei 200 Würfen mit mehr als 80 % Wahrscheinlichkeit zwischen 85- und 115-mal "Zahl".
Von obiger Ungleichung ist es nur ein kleiner Schritt (\(n \to \infty\)) zum
Gesetz der großen Zahlen "Bernoullisches" oder "schwaches"
$$\lim \limits_{n \to \infty} P \left( \left| h_n(A)-p \right| \lt \varepsilon \right) =1$$In Worten: Die Wahrscheinlichkeit \(P\) dafür, dass die relative Häufigkeit \(h_n(A)\) eines bestimmten Ereignisses \(A\) weniger als eine beliebig kleine Zahl \(\varepsilon \gt 0\) von seiner Wahrscheinlichkeit \(p\) abweicht, strebt gegen 1, wenn die Zahl \(n\) der unabhängigen Wiederholungen des Zufallsexperiments gegen \(\infty\) strebt.
Dieser rein mathematische Satz schlägt die Brücke zwischen Theorie und Wirklichkeit. Er bestätigt unsere auf das empirische Gesetz der großen Zahlen gestützte Intuition, dass die relative Häufigkeit eines Ereignisses als Messung für seine Wahrscheinlichkeit dienen kann.
erstellt von C. Wolfseher