Die relative Häufigkeit der ⚅ bei sehr vielen Würfen liefert also einen guten Anhaltspunkt für die Wahrscheinlichkeit, sie zu würfeln.
Mit zunehmender Anzahl von Würfen wird deutlich, dass alle Augenzahlen mit annähernd gleicher Häufigkeit auftreten. Na klar. Ohne auch nur einmal zu würfeln, können wir argumentieren: Der (ideale, nicht präparierte) Würfel hat 6 gleiche Seitenflächen. Also ist auch die Chance, dass er auf einer bestimmten davon
liegen bleibt
Wenn er auf ⚀ liegen bleibt, haben wir ⚅ gewürfelt. 1 : 6.
Angenommen ⚅ tritt mit einer relativen Häufigkeit von \(\frac{k}{n} \approx \frac{1}{6}\) auf,
dann sind bei \(n = 5000\) Würfen um die \(k= \frac{1}{6} \cdot 5000 \approx 833\) ⚅-er zu erwarten.
Der theoretische Wert 1/6
deckt sich gut mit dem empirischen der relativen Häufigkeit von etwa 0,17. Wenn das kein Zufall ist! Wir legen uns fest: Die Wahrscheinlichkeit,
eine ⚅ zu würfeln
und damit auch eine ⚀, ⚁, ⚂, ⚃ und ⚄, ist 1/6.
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Die drei Axiome von Kolmogorow
Alle Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung lassen sich aus folgender Festlegung ableiten:
Eine Funktion \(P: A \mapsto P(A)\), die jedem Ereignis \(A \subset\)
\(\Omega\)
Menge aller möglichen Ergebnisse seine Wahrscheinlichkeit \(P(A) \in \mathbb{R}\) zuordnet, muss folgende Bedingungen erfüllen:
\(P(A) \ge 0\)
\(P(\Omega) = 1\)
wenn
\(A \cap B = \emptyset \)
A und B schließen sich gegenseitig aus, dann gilt \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
Diese drei
Axiome
Grundsatz, der aufgrund der Erfahrung oder Anschauung ohne Nachweis als wahr vorausgesetzt wird. von Kolmogorow
für Wahrscheinlichkeiten gelten analog für relative Häufigkeiten.
Kaum ausgesprochen, haben wir damit auch auch die Wahrscheinlichkeit fundamentiert, keine ⚅ zu würfeln: 5/6, weil 5 von 6 Flächen keine ⚅ liefern.
Wenn von \(n\) Würfen \(k\) eine ⚅ sind, dann sind \(n-k\) keine ⚅. Damit ist die relative Häufigkeit von "keine ⚅"
Analog ergeben sich weitere Wahrscheinlichkeiten, wie beispielsweise
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Was alles passieren kann …
Wenn die Menge \(\Omega\) aller möglichen Ergebnisse \(n\) Elemente hat, dann können
\(2^n\) verschiedene Ereignisse \(A \subseteq \Omega\)
Jedes der n Ergebnisse hat 2 Möglichkeiten: es gehört zu A oder nicht. eintreten.
Beim Würfeln mit \(\Omega=\) {⚀, ⚁, ⚂, ⚃, ⚄, ⚅} können also \(2^6 = 64\) verschiedene Sachen passieren:
"Es fällt die 4.": {⚃}
"AZ ist Primzahl.": {⚁, ⚂, ⚄}
"AZ ist höchstens 2." oder "AZ ist kleiner als 3.": {⚀, ⚁}
⋮
"AZ ist 7." oder "Würfel bleibt auf Ecke stehen." zählen auch als ein Ereignis, nämlich das unmögliche:
{ }
leere Menge \(\emptyset\)
"AZ ist kleiner als 7." hingegen ist das sichere Ereignis: \(\Omega\)
P("Die gewürfelte Augenzahl ist größer als 4.") = 2 : 6 ≈ 33,3 %
P("Die gewürfelte Augenzahl ist kleiner als 7.") = 6 : 6 = 100 % = 1
oder P("Die gewürfelte Augenzahl ist 7.") = 0 : 6 = 0
Marquis de Laplace, ein Pionier der Wahrscheinlichkeitsrechnung, resümierte diese Überlegungen schon vor über 200 Jahren in einer Formel:
Für die Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) eines Ereignisses \(A\) gilt:
$$P(A)=\frac{\text{Anzahl der für das Ereignis } A \text{ günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}$$
Die Formel gilt allerdings nur unter einer Voraussetzung …
