Die Rückstellkraft \(F_R\) einer harmonischen Schwingung ist entgegengesetzt proportional zur Auslenkung \(y(t)\). Beim Federpendel ist die Proportionalitätskonstante allgemein: Richtgröße die Federhärte \(D\). Es gilt das lineare Kraftgesetz der ungedämpften Schwingung ohne Berücksichtigung von Reibungskräften : $$F_R = -D \cdot y(t) \qquad (1)$$ Mit Newton II \(F=m \cdot a\) ist die auf den Pendelkörper der Masse \(m\) wirkende Beschleunigung \(a\) $$a=\frac{F_R}{m} \qquad (2)$$ (1) in (2) ergibt $$ a = -\frac{D}{m} \cdot y(t) \qquad (3)$$
Und weil die Beschleunigung \(a\) die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit \(\dot v(t)\) und die Geschwindigkeit \(v\) die zeitliche Änderung des Ortes \(\dot y(t)\) ist, erhalten wir mit \(a=\dot v=\ddot y\) in (3) die Oszillatorgleichung gewöhnliche, lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung : $$\ddot y(t) = -\frac{D}{m}\cdot y(t) \qquad (4)$$
Die allgemeine Sinusfunktion \(y(t) = A \cdot \sin \left( B\cdot t +C \right)\) ist eine Lösung von (4), denn:
\begin{align} \dot y(t)\, &= \cssId{Step0}{B \cdot A \cdot \cos \left( B\cdot t + C \right)}\\ \ddot y(t)\, &= \cssId{Step1}{-B^2 \cdot A \cdot \sin \left( B\cdot t + C \right)}\\ \, &= \cssId{Step2}{-B^2 \cdot y(t)}\\ \end{align}
Ein Vergleich mit (4) zeigt: \(-B^2\) \(=\) \(-\frac{D}{m}\), also \(B\) \(=\) \(\sqrt{\frac{D}{m}}\).
Der Parameter \(A\) ist die Amplitude der Schwingung, \(C\) der Phasenwinkel \(\varphi_0\) beim Start (\(t=0\)) und mit \(B=\frac{2\pi}{T}\) \(\sin (B \cdot t)\) hat die Periode \(T=\frac{2\pi}{B}\). einerseits und \(B=\sqrt{\frac{D}{m}}\) anderseits erhalten wir: $$\begin{align*} \left. \begin{array}{l l} & B=\frac{2\pi}{T} \\ & B=\sqrt{\frac{D}{m}} \end{array} \right\} \Rightarrow \quad \frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{D}{m}} \Rightarrow \quad T=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{D}{m}}} \Rightarrow \end{align*} $$