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Diesmal wählen wir zunächst eine feste Zahl c ∈ C und dann wieder einen Startwert
z0. Von diesem springen wir nun nach
z1 = z02 + c,
dann weiter nach z2 = z12 + c
= (z02 + c)2 + c usw.
Die folgende Tabelle berechnet und visualisiert Bahnpunkte in der komplexen Zahlenebene für variable z0 und c:
Wieder gibt es zwei Sorten von Startwerten z0: die einen sind Ausgangspunkt einer Bahn ins Unendliche (sie bilden die Fluchtmenge Fc), die anderen Ausgangspunkt einer Bahn, die auf ein bestimmtes Gebiet beschränkt bleibt (sie bilden die Gefangenenmenge Gc).
Die Wahl von c bestimmt dabei das Aussehen der Gefangenenmenge, und das kann ganz schön bizarr werden:
Vier Gefangenenmengen Gc für verschiedene Parameter c.
Alle Figuren sind symmetrisch zum Koordinatenursprung.
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| c = 0 |
c = 0,25 + 0,25 i |
|
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| c = -0,75 |
c = -0,734 - 0,147 i |
Bunter wird's, wenn man mit Hilfe von Farben auch Informationen über das "Fluchtverhalten" der Punkte bildlich codiert.
Wir können uns ausrechnen:
Sobald ein Punkt zn weiter als 2 (oder weiter als |c|, falls |c| > 2) vom Ursprung entfernt ist, entkommt seine Bahn garantiert ins Unendliche, weil der Betrag aller folgenden Bahnpunkte mit jeder weiteren Iteration zunimmt.
Folglich gehören alle z0, die außerhalb der Kreisscheibe um den Ursprung mit Radius max(2;|c|) liegen, zur Fluchtmenge Fc.
Einem z0 im roten Gebiet fehlt noch ein (Iterations-)Schritt, um die Kreisscheibe zu verlassen, d.h. |z1|
> max(2;|c|).
Andere z0 erreichen diesen Freiheit verheißenden Bereich erst nach zwei (grün), drei (blau), vier (gelb) usw. Sprüngen, aber dann ist auch ihre Flucht geglückt. Die Punkte, deren Betrag selbst nach vielen (z.B. 1000) Iterationen
max(2;|c|)
nicht überschritten hat, bleiben schwarz. Durch solche Einfärbungen wird also die Gefangenenmenge Gc beliebig eng eingeschnürt. Vergrößerte Ausschnitte dieser Julia-Figuren liefern phantastische Gemälde, wie sie auch in der Bildergalerie besichtigt werden können.
zum Kapitel "Mandelbrot-Menge"