Julia-Mengen - Gefangene und Fliehende

Nichtlineare dynamische Systeme?
Also dynamisch hat etwas mit Bewegung zu tun, z.B. kann man von Punkt zu Punkt in einer Ebene hüpfen. Nehmen wir die komplexe Zahlenebene C, denn dort entspricht jedem Punkt eine komplexe Zahl z ∈ C, und mit Zahlen können wir schon mal rechnen.
Jetzt benötigen wir noch eine Vorschrift, wie wir von einem Punkt zum nächsten gelangen. Ach ja, nichtlinear soll diese Vorschrift sein. Wie wär´s damit: z → z2. Wir starten bei z0, springen von dort nach z1 = z02, dann weiter nach z2 = z12 = (z02)2 usw. usw.
Die Prozedur der Iteration haben wir bereits am Beispiel der logistischen Gleichung kennen gelernt. Die Folgen z0, z1, z2, ... lassen sich bei näherer Betrachtung in drei Kategorien einteilen:
klick für weitere Infos Ein Startwert z0 im Inneren des Einheitskreises (|z0| < 1) erzeugt eine Folge von Punkten zn (n ∈ N), die gegen den Ursprung strebt. Sie bleiben auf ewig Gefangene auf diesem beschränkten Gebiet.
klick für weitere Infos Liegt z0 auf dem Einheitskreis (|z0| = 1), so tanzen auch alle seine Nachfolger (chaotisch) auf dem Einheitskreis hin und her.
klick für weitere Infos Bei der Iteration eines Startwerts außerhalb des Einheitskreises (|z0| > 1) entstehen Zahlen, deren Beträge von Iterationsschritt zu Iterationsschritt wachsen. Die Punkte fliehen in die Unendlichkeit.
Entsprechend dieser Szenarien wird die komplexe Ebene in zwei komplementäre Mengen von Startwerten z0 eingeteilt: Der Rand zwischen F und G ist hier der Einheitskreis. Er wird Julia-Menge der Iteration z → z2 genannt.
Zugegeben, keine besonders faszinierende Julia-Menge. Jedoch bereits eine kleine Variation der Iterationsvorschrift zu z → z2 + c mit einem Parameter c ∈ C eröffnet die erstaunliche Welt fraktaler Julia-Mengen.

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