7. Aus ein mach um | Berechnung der Kreiszahl π

Um sicher zu gehen, dass die Umfänge \(u_n\) für wachsende Eckenzahl \(n\) wirklich gegen den Kreisumfang \(U_K=\pi\) und nicht einen kleineren Wert streben, müssen wir \(U_K\) auch von der anderen Seite mit umbeschriebenen Tangentenvielecken in die Mangel nehmen.

Man kann nun analog zum Sehnenvieleck zeigen, dass der Umfang \(U_n\) der umbeschriebenen \(n\)-Ecke mit wachsendem \(n\) schrumpft, jedoch stets größer als der Kreisumfang \(U_K\) ist. $$U_K=\pi \lt \ldots \lt U_{48} \lt U_{24} \lt U_{12} \lt U_6$$

Das umbeschriebene \(n\)-Eck erhält man aus dem einbeschriebenen \(n\)-Eck durch eine Streckung mit dem Zentrum \(M\) und dem Streckfaktor \(m\) und es gilt \(U_n=m \cdot u_n\).

• Berechne den Streckfaktor \(m\)!

\begin{align} m &=\frac{r}{\overline{MF}}\\ &=\cssId{Step1}{\frac{r}{\sqrt{r^2-\left(\frac{s_n}{2}\right)^2}}}\\ &=\cssId{Step2}{\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{s_n}{2}\right)^2}}}\\ &=\cssId{Step3}{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\cdot\sqrt{1-s_n^2}}}\\ &=\cssId{Step4}{\underbrace{\frac{1}{\sqrt{1-s_n^2}}}_{\to 1 \text{ für } n \to \infty}}\\ \end{align}

Mit wachsender Eckenzahl \(n\) wird die Seitenlänge \(s_n\) beliebig klein und damit strebt \(m\) gegen 1. \(U_n\) und \(u_n\) sind dann nicht mehr unterscheidbar. Die Länge der Intervalle \(\left[u_n;U_n\right]\) wird also beliebig klein und mittendrin steckt \(U_K=\pi\). Zusammenfassung Sind \(u_6, u_{12}, u_{24}, \ldots\) die Umfänge der einbeschriebenen und \(U_6, U_{12}, U_{24}, \ldots\) die Umfänge der umbeschriebenen regelmäßigen Vielecke eines Kreises mit dem Radius \(r=\frac{1}{2}\) LE, so ist $$\left[u_6;U_6\right], \left[u_{12};U_{12}\right], \left[u_{24};U_{24}\right], \ldots$$ eine Intervallschachtelung für die Kreiszahl \(\pi\).

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