Wir konstruieren aus dem 6-Eck ein regelmäßiges 12-Eck:
Ergänze deine Zeichnung im Heft mit dem Sehnenzwölfeck!
Warum ist der Umfang \(u_6\) des 6-Ecks kleiner als der Umfang \(u_{12}\) des 12-Ecks ? Im Dreieck \(ABC\) obiger Zeichnung gilt die Dreiecksungleichung
$$\color{red}{\overline{AB}}\lt\color{magenta}{\overline{AC}}+\color{magenta}{\overline{CB}}$$ und damit
$$
\begin{eqnarray}
\color{red}{s_6} & \lt & \color{magenta}{s_{12}}+\color{magenta}{s_{12}}\\
6 \cdot \color{red}{s_6} & \lt & 6 \cdot \left(\color{magenta}{s_{12}}+\color{magenta}{s_{12}}\right)\\
\color{red}{u_6} & \lt & \color{magenta}{u_{12}}
\end{eqnarray}
$$
Warum ist der Umfang \(u_{12}\) des 12-Ecks kleiner als der Kreisumfang \(U_K\) ? Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung ihrer Endpunkte.
Folglich gilt in obiger Zeichnung für die Länge des Kreisbogens \(\overset{\textstyle\frown}{AC}\)
$$\color{magenta}{\overline{AC}}\lt\overset{\textstyle\frown}{AC}$$ und damit
$$
\begin{eqnarray}
\color{magenta}{s_{12}} & \lt & \overset{\textstyle\frown}{AC}\\
12 \cdot \color{magenta}{s_{12}} & \lt & 12 \cdot \overset{\textstyle\frown}{AC}\\
\color{magenta}{u_{12}} & \lt & U_K
\end{eqnarray}
$$
Allgemein gilt: Bei jeder Verdopplung der Eckenzahl vergrößert sich der Umfang der Vielecke, wird aber niemals größer als der Kreisumfang.
$$u_6 \lt u_{12} \lt u_{24} \lt u_{48} \lt \ldots \lt U_K = \pi$$
\(u_6=3\) wissen wir schon. Aber wie berechnet man \(u_{12}\)? Und wie \(u_{24}\), \(u_{48}\ldots\)?