Wir unterteilen den Bewegungsablauf in kleine Zeitspannen Δt und tun so, als wäre die Kraft F während Δt konstant. So können wir mit den Formeln der gleichförmig beschleunigten Bewegung jeweils ausgehend von den Werten zu Beginn einer Zeitspanne Δt die Werte am Ende von Δt berechnen. Diese sind dann die neuen Startwerte für die nächste Zeitspanne Δt:
| Zeit | Geschwindigkeit | Beschleunigung | Ort |
| t0 | v0 = v(t0) | a0 = F(v0)/m | x0 = x(t0) |
| t1 = t0 + Δt | v1 = v(t0 + Δt) = v(t1) | a1 = F(v1)/m | x1 = x(t0 + Δt) = x(t1) |
| t2 = t1 + Δt | v2 = v(t1 + Δt) = v(t2) | a2 = F(v2)/m | x2 = x(t1 + Δt) = x(t2) |
| t3 = t2 + Δt | v3 = v(t2 + Δt) = v(t3) | a3 = F(v3)/m | x3 = x(t2 + Δt) = x(t3) |
| ⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋮ |
Wiederholt man (oder der Computer) diese Rechnungen immer wieder, so entwickelt sich Schritt für Schritt der zeitliche Verlauf der Bewegung. Man bezeichnet eine solche Vorgehensweise auch als Iterationsverfahren. Dabei hält sich unsere Schummelei in Grenzen, solange wir nur die Zeitspanne Δt genügend kurz wählen, denn in einer Zehntel- oder gar Millionstelsekunde sollte die Änderung von F wirklich winzig sein.
Wie sehen diese Rechenschritte nun konkret aus? Wie kann ich beispielsweise v1 aus v0 berechnen?
| mit Δv = | a·Δt gilt: |
| v1 − v0 = | a0·Δt |
| also v1 = | a0·Δt + v0 |
| ebenso v2 = | a1·Δt + v1 |
| v3 = | a2·Δt + v2 |
| ⋮ | |
| allgemein | vn+1 = an·Δt + vn (wobei an = F(vn)/m) |
Da wir ja F während Δt als konstant annehmen, können wir auch den während Δt zurückgelegten Weg Δx mit Hilfe der Formel für eine gleichförmig beschleunigte Bewegung berechnen:
| mit Δx = | ½·a0·Δt2 + v0·Δt gilt: |
| x1 − x0 = | ½·[(v1 − v0)/Δt]·Δt2 + v0·Δt |
| = | ½·(v1 − v0)·Δt + v0·Δt |
| = | [½·(v1 − v0) + v0]·Δt |
| = | [½·v1 − ½·v0 + v0]·Δt |
| = | ½·(v1 + v0)·Δt; |
| also x1 = | ½·(v1 + v0)·Δt + x0 |
| ebenso x2 = | ½·(v2 + v1)·Δt + x1 |
| x3 = | ½·(v3 + v2)·Δt + x2 |
| ⋮ | |
| allgemein | xn+1 = ½·(vn+1 + vn)·Δt + xn |
zusammenfassend erhalten wir folgende Tabelle:
| t0 | v0 | a0 = g − (½·cw·A·ρ·v02)/m | x0 |
| t1 = t0 + Δt | v1 = a0·Δt + v0 | a1 = g − (½·cw·A·ρ·v12)/m | x1 = ½(v0 + v1)·Δt + x0 |
| t2 = t1 + Δt | v2 = a1·Δt + v1 | a2 = g − (½·cw·A·ρ·v22)/m | x2 = ½(v1 + v2)·Δt + x1 |
| t3 = t2 + Δt | v3 = a2·Δt + v2 | a3 = g − (½·cw·A·ρ·v32)/m | x3 = ½(v2 + v3)·Δt + x2 |
| ⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋮ |
| tn+1 = tn + Δt | vn+1 = an·Δt + vn | an+1 = g − (½·cw·A·ρ·vn+12)/m | xn+1 = ½(vn + vn+1)·Δt + xn |
Mit den Startwerten und den Iterationsformeln gefüttert, kann uns der Computer nun beliebig viele Bewegungsschritte vorausberechnen.
erstellt von C. Wolfseher