Sensitivität - so zuverlässig wie ein Würfel

n    Xn REAL        Xn EXTENDED
  0  0.10000000000  0.10000000000
  1  0.36000000000  0.36000000000
  2  0.92160000000  0.92160000000
  3  0.28901376000  0.28901376000
  4  0.82193922612  0.82193922612
  5  0.58542053874  0.58542053873
  6  0.97081332624  0.97081332625
  7  0.11333924733  0.11333924730
  8  0.40197384937  0.40197384930
  9  0.96156349517  0.96156349511
 10  0.14783655969  0.14783655991
 11  0.50392364525  0.50392364587
 12  0.99993842003  0.99993842001
 13  0.00024630470  0.00024630478
 14  0.00098497615  0.00098497646
 15  0.00393602390  0.00393602513
 16  0.01568212646  0.01568213136
 17  0.06174478947  0.06174480848
 18  0.23172948176  0.23172954841
 19  0.71212371618  0.71212385922
 20  0.82001411614  0.82001387341
 21  0.59036386189  0.59036448331
 22  0.96733748986  0.96733704062
 23  0.12638268229  0.12638436184
 24  0.44164039964  0.44164541970
 25  0.98637662818  0.98637897183
 26  0.05375110222  0.05374198304
 27  0.20344768494  0.20341512918
 28  0.64822689772  0.64814965761
 29  0.91211514716  0.91220671580
 30  0.32064442191  0.32034249378
 31  0.87132630643  0.87089272184
 32  0.44846709660  0.44975435555
 33  0.98937743947  0.98990150086
 34  0.04203888695  0.03998607784
 35  0.16108647573  0.15354876567
 36  0.54055049228  0.51988616893
 37  0.99342263030  0.99841816114
 38  0.02613643162  0.00631734658
 39  0.10181327423  0.02510975084
 40  0.36578932569  0.09791700503
 41  0.92794997961  0.35331706061
 42  0.26743525982  0.91393646117
 43  0.78365456650  0.31462642446
 44  0.67816034761  0.86254654997
 45  0.87303556216  0.47423999641
 46  0.44337787745  0.99734568886
 47  0.98717574095  0.01058906309
 48  0.05063918971  0.04190773932
 49  0.19229944871  0.16060592282
 50  0.62128148294  0.53924664149
100  0.03317485655  0.76015300358
Bis jetzt (r < r∞ ≈ 3,57) hätten die Bedingungen für eine Vorausberechnung der Schwammspinnerpopulation mit der logistischen Gleichung nicht besser sein können. Es war ja vollkommen egal, ob wir von ein paar Tierchen (x0 nahe 0) oder von einer Anzahl an der Grenze der Umweltkapazität (x0 nahe 1) ausgegangen waren. Die Kraft der Attraktoren sorgte zuverlässig dafür, dass sich die Populationsgröße auf einen stabilen Wert oder Zyklus einpendelte. Das starke Kausalitätsprinzip war bestens erfüllt, denn sogar "nicht gerade ähnliche" Startbedingungen führten früher oder später zum gleichen Ergebnis.

Warum sollte sich nun ab r∞ etwas an der Vorhersagbarkeit ändern? Die xn sind nach wie vor durch xn+1 = r·(1-xn)·xn eindeutig determiniert, wenn sie auch sehr regellos auftreten. Berechnen wir doch einfach mit einem einfachen Computerprogramm den Orbit von x0 = 0,1 für r = 4 (vgl. Tabelle links).

Na gut, ein Zyklus oder gar ein einzelner Attraktor ist nicht erkennbar, aber immerhin eindeutige Werte. Und ein erneuter Programmdurchlauf liefert präzis dieselben Ergebnisse. Wir können sogar mit noch größerer Genauigkeit rechnen, indem wir den Variablentyp von x von REAL (11-12 Stellen Genauigkeit, 6 Bytes) auf EXTENDED (19-20 Stellen Genauigkeit, 10 Bytes) erweitern.

Hoppla! Am Anfang scheint alles noch zu stimmen, aber mit wachsendem n liefern die beiden Variablen immer unterschiedlichere Werte. Und spätestens ab n = 40 haben die Ergebnisse zu ein- und derselben Berechnung überhaupt nichts mehr miteinander zu tun. Eine der beiden Kolonnen muss völlig daneben liegen. Klarer Fall: Wir vertrauen der genaueren EXTENDED-Kolonne und können die falschen REAL-Werte in den Papierkorb werfen.

Es sollte uns jedoch stutzig machen, dass es Computersysteme gibt, die mit noch höherer Genauigkeit rechnen können. In der Tat liefern sie wiederum (ab bestimmten n) andere, "genauere" Werte, die nun unsere EXTENDED-Werte in den Müll befördern. Wir können das Spiel, abgesehen von der rapide wachsenden Rechenzeit, beliebig fortsetzen. Es ist nur eine Frage der Zeit (d.h. des n), bis auch ein hypothetischer Supercomputer Werte liefert, die so zuverlässig wie gewürfelt sind!

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