Beim Experimentieren mit der Tabelle zur Iteration der logistischen Gleichung stößt man auf folgende Phänomene:

• 0 ≤ r ≤ 1: Die Population ist zum Aussterben verurteilt. Dabei ist es völlig egal, mit welcher Anfangspopulation die Schwammspinner ins Rennen gehen. Nach einigen Jahren strebt die Population stets gegen 0. Die 0 zieht die Folgenglieder an sich, sie ist ein Attraktor. Bei der grafischen Iteration erhält man für alle Startwerte eine Treppe, die hinab zum Attraktor 0 führt.
  Dort liegt noch eine Besonderheit vor: Sobald ein x_n den Wert 0 exakt annimmt, ist natürlich auch x_n+1 = r·(1-0)·0 = 0 und damit auch x_n+2 usw. Die Iteration bleibt auf der 0 festgenagelt und kommt nie wieder von ihr los. Die 0 ist ein Fixpunkt.

• 1 < r ≤ 3: Die Gefahr des Aussterbens ist gebannt. Die 0 hat an Attraktivität verloren. Ihre magnetische Wirkung ist ausgeschaltet, ja sogar umgepolt worden. Selbst Werte ganz nahe an 0 wenden sich sofort ab. Natürlich bleibt 0 Fixpunkt, aber nun abstoßender, repulsiver Fixpunkt: ein Repeller. Die Rolle des Attraktors übernimmt ein weiterer Fixpunkt p_r = 1 - 1/r, dem die Folgenglieder nun (wieder unabhängig von x₀) zustreben.
  Nahe vor r = 3 zappeln die x_n schon nervös hin und her, bevor sie der Attraktor p_r doch noch einfangen kann. Kommt jetzt endlich das Chaos? Geduld! Ein untrüglicher Vorbote kündigt es bereits an: Periodenverdopplung!

• 3 < r ≤ 4: Über Periodenverdopplung ins Chaos

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