Integrale Näherungsformel von de Moivre-Laplace

Zur Berechnung von \(P(k_1\le X \le k_2)\) müssen die Wahrscheinlichkeiten \(B(n; p; i)\) \(k_1\le i \le k_2\) , also die zugehörigen Rechtecksflächen des Histogramms aufaddiert werden. Solche Flächen können nun durch eine Integration über \(\varphi\) approximiert werden. Dazu müssen die zu \(k_1\) und \(k_2\) gehörigen Integrationsgrenzen \(t_1\) und \(t_2\) bestimmt werden. Da die Breiten unserer Histogrammrechtecke 1 sind und mittig über den \(k_i\) stehen, gehen wir vom Intervall \([k_1-0,5\,;\,k_2+0,5]\) aus. Dann folgen die drei Standardisierungsschritte:

1. Verschiebung nach links um \(\mu\): $$[k_1-0,5\,;\,k_2+0,5]\mapsto [k_1-0,5-\mu\,;\,k_2+0,5-\mu]$$
2. Stauchung der Rechtecksbreiten mit dem Faktor \(\frac{1}{\sigma}\): $$[k_1-0,5-\mu\,;\,k_2+0,5-\mu] \mapsto \left[\frac{k_1-0,5-\mu}{\sigma}\,;\,\frac{k_2+0,5-\mu}{\sigma}\right]$$
3. Die Dehnung der Rechteckshöhen mit dem Faktor \(\sigma\) sorgt dafür, dass die Rechtecksflächen, also die Wahrscheinlichkeiten \(B(n; p; i)\) erhalten bleiben. Das Integrationsintervall bleibt davon unberührt.

Führe eine Standardisierung des folgenden Histogramms durch und verfolge, wie sich die Rechtecksflächen der Integralfläche anpassen!

• Kontrolliere selbst die Berechnung von \(t_1\) und \(t_2\) aus verschiedenen \(k_1\) und \(k_2\)!
• Teste auch \(k_1 = k_2\)!
• Experimentiere auch mit anderen Parametern \(n\) und \(p\), beispielsweise \(n=64\) und \(p=0,5\).
• Überprüfe die Faustregel: Die Näherung ist für praktische Zwecke ausreichend genau, wenn \(n\cdot p\cdot q\gt 9\) wobei \(q=1-p\) .

Ist \(\Phi\) eine Stammfunktion von \(\varphi\) erhalten wir $$P(k_1\le X \le k_2)\approx \Phi(t_2)-\Phi(t_1)$$ und somit die

Setzt man \(k_1 = k_2 = k\), ergibt sich eine Näherung für \(P(X=k)\), die sogenannte

Fehlt also nur noch diese Funktion \(\Phi\) ...

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