Standardisierte Dichtefunktion \(\varphi\)

Die Zufallsgröße $$T=\frac{X-\mu}{\sigma}$$ beschreibt die Abweichung der Zufallsgröße \(X\) vom Erwartungswert \(\mu\) in Einheiten von \(\sigma\). Für den Erwartungswert \(\mu_T\) und die Varianz \({\sigma_T}^2\) von \(T\) gilt: $$\mu_T=0 \,;\quad {\sigma_T}^2=1$$ Eine solche Standardisierung von \(X\) vollzieht sich am Histogramm in drei Schritten:

1. Verschiebung nach links um \(\mu\)
2. Stauchung der Rechtecksbreiten mit dem Faktor \(\frac{1}{\sigma}\)
3. Dehnung der Rechteckshöhen mit dem Faktor \(\sigma\), damit die Rechtecksflächen, also die Wahrscheinlichkeiten \(B(n;p;k)\) erhalten bleiben.

Führe eine Standardisierung des folgenden Histogramms durch! Beobachte dabei auch ein einzelnes (markiertes) Rechteck!

Die Dichtekurve die 'Deckel' der Histogramm-Rechtecke des standardisierten Histogramms hat eine glockenförmige Gestalt. Blende die Glockenkurve ein! Wiederhole das Vorgehen für andere Parameter \(n\) und \(p\), beispielsweise \(n=64\) und \(p=0,5\).

Erstaunlicherweise nähern sich bei der Standardisierung alle Dichtekurven dieser einen Normkurve an. Sie ist der Graph der standardisierten Dichtefunktion \(\varphi\) entdeckt von dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß . Mit wachsendem \(n\) wird die Anpassung immer besser.

«    •    »