Gaußsche Integralfunktion

Die Gauß Carl Friedrich Gauß, 1777-1855, deutscher Mathematiker sche Integralfunktion $$\Phi(t)=\int\limits_{-\infty}^{t}{\varphi(x)\,\mathrm{d}x}=\int\limits_{-\infty}^{t}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2}\,\mathrm{d}x}$$ misst die linke Randfläche unter der Glockenkurve der Dichtefunktion $\varphi$. $\Phi$ ist also die zu $\varphi$ gehörende Verteilungsfunktion und Integralfunktion von $\varphi$.

$\Phi$ lässt sich nicht durch elementare Funktionen ausdrücken. Man kann sie jedoch mit Hilfe numerischer Methoden beliebig genau berechnen und tabellieren. Die Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Integralfunktion $\Phi$ reduziert sich auf die Berechnung verschiedener Flächentypen:

$F = \Phi (\infty) = 1$ $P(0 \le X \le n)$	$F = \Phi (t)$ $\approx P(X \le k)$
F = 1 − Φ(t)	F = Φ(−t) = 1 − Φ(t)
F = Φ(t2) − Φ(t1)	F = Φ(t) − Φ(−t) = 2 · Φ(t) − 1

Mit der Gaußschen Integralfunktion $\Phi$ und den Ergebnissen der vorausgehenden Seite erhalten wir zusammenfassend:

«    •    »