Binomial- und Normalverteilung | Gaußsche Integralfunktion

Die sche Integralfunktion $$\Phi(t)=\int\limits_{-\infty}^{t}{\varphi(x)\,\mathrm{d}x}=\int\limits_{-\infty}^{t}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2}\,\mathrm{d}x}$$ misst die linke Randfläche unter der Glockenkurve der Dichtefunktion $\varphi$. $\Phi$ ist also die zu $\varphi$ gehörende Verteilungsfunktion und Integralfunktion von $\varphi$.

$\Phi$ lässt sich nicht durch elementare Funktionen ausdrücken. Man kann sie jedoch mit Hilfe numerischer Methoden beliebig genau berechnen und tabellieren. Die Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Integralfunktion $\Phi$ reduziert sich auf die Berechnung verschiedener Flächentypen:

Mit der Gaußschen Integralfunktion $\Phi$ und den Ergebnissen der vorausgehenden Seite erhalten wir zusammenfassend:

Ist $X$ eine $B(n;p)$-verteilte Zufallsgröße mit $\mu=np$ und $\sigma^2=np(1-p)$, und ist $k_1, k_2 \in \{0,1, \ldots, n \}$, so gilt für große $n$ und beliebige $p$ die integrale Näherungsformel von - : $$P(k_1\le X \le k_2)\approx \Phi \left(\frac{k_2+0,5-\mu}{\sigma}\right)-\Phi \left(\frac{k_1-0,5-\mu}{\sigma}\right)$$

\(F = \Phi (\infty) = 1\) \(P(0 \le X \le n)\)	\(F = \Phi (t)\) \(\approx P(X \le k)\)
F = 1 − Φ(t)	F = Φ(−t) = 1 − Φ(t)
F = Φ(t₂) − Φ(t₁)	F = Φ(t) − Φ(−t) = 2 · Φ(t) − 1