Binomialverteilung | Histogramm

Sei \(X\) die Anzahl der Treffer in einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) \(n\) unabhängige Versuche mit Ausgang 'Treffer' oder 'Niete' mit Trefferwahrscheinlichkeit \(p\). Das Histogramm Rechtecksflächen stellen Wahrscheinlichkeiten dar. zeigt die Wahrscheinlichkeiten $$P(X=k)=B(n;p;k)={n \choose k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$$ für \(k\) Treffer.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) heißt Binomialverteilung \(B(n; p; k)\) sind Glieder in der Entwicklung des Binoms \((p+q)^n\). . \(X\) hat den Erwartungswert \(\mu=n\cdot p\) zu erwartender Mittelwert von \(X\) bei einer langen Versuchsserie und die Varianz \(\sigma^2=n\cdot p \cdot (1-p)\) mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert .

In einer großen Lieferung von Kinderüberraschungseiern befindet sich laut Herstellerangabe in jedem 4-ten Ei ein Schlumpf. Otto kauft 10-mal hintereinander ein Ei. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ergattert er insgesamt

• genau einen Schlumpf? 18,8 %
• mindestens einen Schlumpf? 94,4 %
• mehr als drei Schlümpfe? 22,4 %
• bis zu drei Schlümpfe? 77,6 %
• mindestens drei, aber höchstens sechs Schlümpfe? 47,1 %

Überprüfe folgende Aussagen über die Histogramme (in einem statischen Koordinatensystem):

• Mit wachsendem \(p\) wandert das Maximum nach rechts. (wähle \(n=100\))
• Mit wachsendem \(n\) wandert das Maximum nach rechts. Die Histogramme werden breiter und flacher und allmählich symmetrisch. (wähle \(p=0,75)\)
• Die Summe der Flächeninhalte aller Rechtecke eines Histogramms ist 1.

Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten \(P(k_1\le X \le k_2)\) wird für große Intervalle \([k_1;k_2]\) und große \(n\) sehr aufwändig. Für solche Fälle gibt es aber eine hinreichend genaue Näherungsformel, die im Folgenden hergeleitet wird.

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