Eine Ladung \(q\) wird im radialsymmetrischen elektrischen Feld einer Punktladung \(Q\) von A nach B verschoben. Dabei ändert sich ihre potentielle Energie um \(\Delta E_{pot}=E_{pot, B}-E_{pot, A}\).
Die im \(r\)-\(F\)-Diagramm dargestellte Fläche ist ein Maß für \(\Delta E_{pot}\) und kann mit $$\int\limits_{r_A}^{r_B}{F(r)}\,dr=\int\limits_{r_A}^{r_B}{\frac{Q\cdot q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{r^2}}\,dr=\frac{Q\cdot q}{4\pi\varepsilon_0}\left[-\frac{1}{r}\right]_{r_A}^{r_B}=\frac{Q\cdot q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}\right)\qquad (*)$$ berechnet werden.
😕 Du bist noch nicht mit Integralrechnung vertraut? Kein Problem. Es geht auch ohne \(\int\). Wie, erfährst du auf der Seite grafische Integration. 😀
Für \(E_{pot}\) muss ein Nullniveau festgelegt werden. Es in den Mittelpunkt der felderzeugenden Ladung \(Q\) zu legen ist keine gute Idee, da für die Entfernung \(r=0\) der Term \((*)\) nicht definiert ist. In unendlicher Entfernung \(r \to \infty\) von \(Q\) hingegen spürt die Ladung \(q\) die Coulombkraft \(F(r) \to 0\) nicht mehr. Daher soll \(q\) dort \(E_{pot}=0\) haben!
Bewegt sich \(q\) also von einem unendlich weit entfernten Punkt A (\(r_A \to \infty\) mit \(E_{pot,A}=0\)) nach B, so gilt:
$$E_{pot, B}\overset{E_{pot,A}=0}{=}\Delta E_{pot}\overset{r_A \gt r_B}{=}-\lim_{r_A\to\infty}\int\limits_{r_A}^{r_B}{F(r)}\,{\rm d}r\overset{(*)}{=}-\frac{Q\cdot q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl({\underbrace{\frac{1}{r_A \to \infty}}_{\to 0}}-\frac{1}{r_B}\Bigr)=\frac{Q\cdot q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \frac{1}{r_B}$$Mit \(\varphi=\frac{E_{pot}}{q}\) erhalten wir allgemein das elektrische Potenzial \(\varphi\) im Abstand \(r\) zur Punktladung \(Q\):
$$\varphi(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \frac{1}{r}$$
Die Fläche in folgendem Diagramm zeigt diesen Potenzialverlauf. Sie ordnet jedem Punkt der \(x\)-\(y\)-Ebene sein Potenzial \(\varphi\) zu.
In Analogie zum Gravitationspotenzial kannst du dir eine Kugel vorstellen, die gegen einen (Potenzial-)Berg anrollt. In großer Entfernung \(r\) vom Zentrum macht sich die Steigung noch kaum bemerkbar. Doch mit zunehmender Annäherung wird's immer steiler. Die Höhe der Kugel wächst indirekt proportional zu \(r\). Die Kugel gewinnt \(E_{pot}\) auf Kosten ihrer \(E_{kin}\).
Umgekehrt verhält es sich, wenn die Kugel einen (Potenzial-)Trichter hinabrollt. Je näher sie dem Zentrum kommt, desto mehr nimmt sie Fahrt auf und plumpst schließlich in die Tiefe. Um sie da wieder rauszuholen, also ihre \(E_{pot}\) wieder auf Null zu bringen, bedarf es einer Menge Hubarbeit.