Eine Ladung q wird im radialsymmetrischen elektrischen Feld einer Punktladung Q von A nach B verschoben. Dabei ändert sich ihre potentielle Energie um ΔEpot=Epot,B−Epot,A.
Die im r-F-Diagramm dargestellte Fläche ist ein Maß für ΔEpot und kann mit rB∫rAF(r)dr=rB∫rAQ⋅q4πε0⋅1r2dr=Q⋅q4πε0[−1r]rBrA=Q⋅q4πε0(1rA−1rB)(∗) berechnet werden.
😕 Du bist noch nicht mit Integralrechnung vertraut? Kein Problem. Es geht auch ohne ∫. Wie, erfährst du auf der Seite grafische Integration. 😀
Für Epot muss ein Nullniveau festgelegt werden. Es in den Mittelpunkt der felderzeugenden Ladung Q zu legen ist keine gute Idee, da für die Entfernung r=0 der Term (∗) nicht definiert ist. In unendlicher Entfernung r→∞ von Q hingegen spürt die Ladung q die Coulombkraft F(r)→0 nicht mehr. Daher soll q dort Epot=0 haben!
Bewegt sich q also von einem unendlich weit entfernten Punkt A (rA→∞ mit Epot,A=0) nach B, so gilt:
Epot,BEpot,A=0=ΔEpotrA>rB=−limMit \varphi=\frac{E_{pot}}{q} erhalten wir allgemein das elektrische Potenzial \varphi im Abstand r zur Punktladung Q:
\varphi(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \frac{1}{r}
Die Fläche in folgendem Diagramm zeigt diesen Potenzialverlauf. Sie ordnet jedem Punkt der x-y-Ebene sein Potenzial \varphi zu.
In Analogie zum Gravitationspotenzial kannst du dir eine Kugel vorstellen, die gegen einen (Potenzial-)Berg anrollt. In großer Entfernung r vom Zentrum macht sich die Steigung noch kaum bemerkbar. Doch mit zunehmender Annäherung wird's immer steiler. Die Höhe der Kugel wächst indirekt proportional zu r. Die Kugel gewinnt E_{pot} auf Kosten ihrer E_{kin}.
Umgekehrt verhält es sich, wenn die Kugel einen (Potenzial-)Trichter hinabrollt. Je näher sie dem Zentrum kommt, desto mehr nimmt sie Fahrt auf und plumpst schließlich in die Tiefe. Um sie da wieder rauszuholen, also ihre E_{pot} wieder auf Null zu bringen, bedarf es einer Menge Hubarbeit.