Eine Ladung \(q\) wird im radialsymmetrischen elektrischen Feld einer Punktladung \(Q\) von A nach B verschoben. Dabei ändert sich ihre potentielle Energie um \(\Delta E_{pot}=E_{pot, B}-E_{pot, A}\).
Die im \(r\)-\(F\)-Diagramm dargestellte Fläche ist ein Maß für \(\Delta E_{pot}\) und kann mit $$\int\limits_{r_A}^{r_B}{F(r)}\,dr=\int\limits_{r_A}^{r_B}{\frac{Q\cdot q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{r^2}}\,dr=\frac{Q\cdot q}{4\pi\varepsilon_0}\left[-\frac{1}{r}\right]_{r_A}^{r_B}=\frac{Q\cdot q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}\right)\qquad (*)$$ berechnet werden.
😕 Du bist noch nicht mit Integralrechnung vertraut? Kein Problem. Es geht auch ohne \(\int\). 😀 Und das geht so:
*** Sorry! Under construction! ***
Kraft soll schrittweise konstant sein. 1. Schritt:zu groß: $$\frac{Q\cdot q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \frac{1}{r_A^2}$$
zu klein: $$\frac{Q\cdot q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \frac{1}{r_1^2}$$
mittendrin: $$\frac{Q\cdot q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \frac{1}{r_A\cdot r_1}$$
Energieänderung im ersten Schritt: $$\Delta E_{pot,1}=\underbrace{\frac{Q\cdot q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \frac{1}{r_A\cdot r_1}}_{F_1}\cdot \underbrace{(r_1-r_A)}_{\Delta r}=\frac{Q\cdot q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \left(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_1}\right)$$
alle Schritte zusammen: $$\Delta E_{pot}=\frac{Q\cdot q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \left[\left(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_1}\right)+\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)+\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_3}\right)+ \ldots +\left(\frac{1}{r_{B-1}}-\frac{1}{r_B}\right)\right]$$
und damit: $$\Delta E_{pot}=\frac{Q\cdot q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \left(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}\right)$$
*** Sorry! Under construction! ***
*** Sorry! Under construction! ***
erstellt von C. Wolfseher