Orthodrome | C. Wolfseher

Im Atlas sind es 13 cm. Bei einem Maßstab 1 : 60 000 000 macht das in Wirklichkeit 7800 km.

1 cm auf der Karte entspricht 60 000 000 cm = 600 000 m = 600 km in Wirklichkeit. 13 cm entsprechen dann 13 · 600 km = 7800 km.

In Wirklichkeit leben wir aber auf der Oberfläche einer . Auf dem Globus kannst du kein Lineal von Rom nach New York anlegen. Die Verbindungslinie ist gekrümmt.

Zufälligerweise liegen Rom und New York etwa auf dem gleichem Breitenkreis: 41° N. Schaust du auf dem Petersplatz genau in Richtung Westen und wanderst (oder schwimmst) du dann immer der Nase nach, erreichst du entlang eines Kreisbogens irgendwann die Freiheitsstatue. Na ja, ungefähr zumindest. Die Länge dieses Bogens beträgt rund 7,26 tausend Kilometer.

Deaktiviere die Karte des oben abgebildeten Globus.

Den Radius $r_R$ des 41. Breitenkreises entnehmen wir dem rechtwinkligen Dreieck der Skizze: $$\cos 41°=\frac{r_R}{r_E}\Rightarrow r_R=r_E\cdot \cos 41° \qquad (*)$$ Für die gesuchte Bogenlänge $b$ gilt: $$\frac{b}{2\pi\cdot r_R}=\frac{\Delta\lambda}{360°}\Rightarrow b=\frac{\Delta\lambda}{360°}\cdot 2\pi\cdot r_R\overset{(*)}{=}\frac{\Delta\lambda}{360°}\cdot 2\pi\cdot r_E\cdot \cos 41°$$ Dabei ist $\Delta\lambda=\lambda_R-\lambda_N$ der Winkelabstand der Längengrade von Rom und New York. Mit $\lambda_R\approx 12,5°$, $\lambda_N\approx -74,0°$ und dem (mittleren) Erdradius $r_E=6371$ km erhalten wir $b\approx 7,26\cdot 10^3$ km.

Aber warum fliegen Flugzeuge abweichend vom Breitenkreis (vorbei an Spanien über Frankreich Richtung Neufundland) von Rom nach New York?

Weil's kürzer ist! Luftlinien liegen auf Großkreisen. Das sind die , die du auf eine Kugel zeichnen kannst. Sie entstehen, wenn du eine Kugel halbierst, also durch den Mittelpunkt schneidest. Alle anderen ebenen Schnitte liefern .

Die kürzeste Entfernung zweier Punkte auf einer Kugeloberfläche ist die Länge des zwischen den Punkten.

Entlang des Großkreises sind es von Rom nach New York (berechnet mit unseren gerundeten Daten) nur noch 6,92 tausend km.

Deaktiviere die Karte des oben abgebildeten Globus.

Jeder Großkreis der Erdkugel hat den Radius $r_E$. Mit dem Mittelpunktswinkel $\omega$ (im Bogenmaß) des Großkreisbogens von Rom nach New York erhalten wir die gesuchte Bogenlänge $b$: $$b=r_E\cdot \omega$$ $\omega$ können wir beispielsweise aus dem Skalarprodukt der normierten Ortsvektoren von Rom $\vec{r}_0$ und New York $\vec{n}_0$ berechnen: $$\omega=\arccos(\vec{n}_0 \cdot \vec{r}_0)$$ Mit dem Seiten-Kosinussatz der sphärischen Trigonometrie lässt sich die Formel $$\omega = \arccos \left( \sin\lambda_A \sin\varphi_B + \cos\varphi_A \cos\varphi_B \cos \left( \lambda_B - \lambda_A \right) \right)$$ herleiten, in die man direkt den Breitengrad $\varphi$ und Längengrad $\lambda$ zweier Orte $A$ und $B$ einsetzen kann.

Noch kürzer ist natürlich ein geradliniger Tunnel von Rom nach New York. Der wäre nur 6,59 tausend km lang.

Der euklidische Abstand der Punkte $A(a_1|a_2|a_3)$ und $B(b_1|b_2|b_3)$ ist $$d(A,B)=\sqrt{{(b_1-a_1)}^2+{(b_2-a_2)}^2+{(b_3-a_3)}^2}$$

Die kartesischen Koordinaten $(x|y|z)$ berechnet man aus den Kugelkoordinaten $(r|\lambda|\varphi)$ mit $$\begin{eqnarray}\begin{array}{lll}x & = & r\cos \varphi \cos \lambda \\ y & = & r\cos \varphi \sin \lambda \\ z & = & r\sin \varphi \end{array}\end{eqnarray}$$

Wie weit ist es von Rom nach New York?