Die drei Messbecher werden jeweils mit bis zu einem Liter Wasser befüllt. Jedem Wasservolumen \(V\) in ml ist genau eine Füllhöhe \(h\) in cm zugeordnet. Beispielsweise gilt beim quaderförmigen Gefäß:
\(\text{200 ml} \mapsto \text{4 cm}\) (lies: 200 Milliliter wird 4 Zentimeter zugeordnet)
Ergänze die zweite und dritte Zeile untenstehender Tabelle und kontrolliere dann Deine Ergebnisse.
Für alle Gefäße gilt: Je mehr Wasser, desto höher der Füllstand. Für den Quader und den Zylinder lässt sich — im Gegensatz zum Kegel — diese Aussage noch präzisieren:
Verdoppelt, verdreifacht oder halbiert man \(V\), so verdoppelt, verdreifacht oder halbiert sich auch \(h.\) Man nennt dann die Zuordnung \(V \mapsto h\) eine Proportionalität proportio (lat.): entsprechendes Verhältnis und notiert
\(V \sim h\) Statt der Tilde wird auch das aequalis-Zeichen verwendet: \(V \propto h\) (lies: V ist proportional Man sagt auch: direkt proportional zu h).
Gehört bei einer Zuordnung
zum Doppelten, zum Halben, ..., zum
\(r\)-fachen
\(r\) steht für eine beliebige positive Zahl
der einen Größe
das Doppelte, die Hälfte, ..., das \(r\)-fache der anderen Größe,
so nennt man die Zuordnung proportional.
Kennt man ein Wertepaar einer proportionalen Zuordnung, kennt man sie alle. Ist bei 400 ml Wasser die Füllhöhe 8 cm, so beträgt sie bei 700 ml ...
| Lösung mit Dreisatz | Lösung mit Gleichung |
|---|---|
| \begin{align} 400 \text{ ml} &\mapsto 8 \text{ cm} \\ 100 \text{ ml} &\mapsto 8 \text{ cm} : 4 \\ 700 \text{ ml} &\mapsto 8 \text{ cm} : 4 \cdot 7 = 8 \text{ cm} \cdot \frac{7}{4}=14 \text{ cm} \end{align} | Sei \(h\) die gesuchte Füllhöhe. \begin{align} \frac{h}{8 \text{ cm}} &= \left. \frac{700 \text{ ml}}{400 \text{ ml}} \quad \right| \cdot 8 \text{ cm}\\ h &= \frac{7}{4} \cdot 8 \text{ cm} = 14 \text{ cm} \end{align} |