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Pseudoranging - mehr oder weniger | GNSS

Angenommen die Quarzuhr unseres Navis geht im Vergleich zur Atomuhr des Satelliten um Δt=1 Millisekunde vor.

Zuerst die schlechte Nachricht: Dann benutzt das Navi zur Positionsberechnung eine um Δr=cΔt= 300 km zu lange Entfernung r zum Satelliten! Teste selbst:

Die gute Nachricht: Dann tut es das auch bei allen anderen Satelliten deren Atomuhren ja stets synchron gehalten werden ! Statt der korrekten Entfernungen r1, r2 und r3 zu den Satelliten S1, S2 und S3 errechnet das Navi die Pseudostrecken vom wahren Wert abweichenden ρ1=r1+Δr, ρ2=r2+Δr und ρ3=r3+Δr.

algebraische Lösung

Misst das Navi also eine Pseudoentfernung ρ, dann ist die wahre Entfernung r=ρΔr. Um die Ortskoordinaten x, y und z des Empfängers zu berechnen, müssen wir im zur Trilateration gehörigen Gleichungssytem also nur ri durch ρiΔr (i=1,2,3) ersetzen: (xxS1)2+(yyS1)2+(zzS1)2=(ρ1Δr)2(1)(xxS2)2+(yyS2)2+(zzS2)2=(ρ2Δr)2(2)(xxS3)2+(yyS3)2+(zzS3)2=(ρ3Δr)2(3)

Da wir aber die Zeitabweichung Δt der Navi-Uhr und damit die Längenabweichung Δr=cΔt nicht kennen, enthalten diese drei Gleichungen vier Unbekannte: x, y, z und Δr. Eine zuviel!

Nicht, wenn wir noch einen vierten Satelliten S4 hinzuziehen: (xxS1)2+(yyS1)2+(zzS1)2=(ρ1Δr)2(1)(xxS2)2+(yyS2)2+(zzS2)2=(ρ2Δr)2(2)(xxS3)2+(yyS3)2+(zzS3)2=(ρ3Δr)2(3)(xxS4)2+(yyS4)2+(zzS4)2=(ρ4Δr)2(4) Vier Gleichungen – vier Unbekannte – lösbar Das nichtlineare Gleichungssystem ist nicht ganz einfach zu knacken, aber dafür hat das Navi einen Taschenrechner eingebaut. ! Neben den Ortskoordinaten x, y und z unseres Navis enthält die Lösung dieses Gleichungssystems – sozusagen als Sahnehäubchen – noch Δr und damit die Zeitabweichung Δt=Δrc der Navi-Uhr von der supergenauen Satelliten-Zeit. Ein GNSS liefert also nicht nur den Standort sondern auch die (atom-)genaue Uhrzeit!

Dazu müssen aber jederzeit und überall mindestens 4 Satelliten in Sicht sein.

erstellt von C. Wolfseher