Angenommen die Quarzuhr unseres Navis geht im Vergleich zur Atomuhr des Satelliten um Δt=1 Millisekunde vor.
Zuerst die schlechte Nachricht: Dann benutzt das Navi zur Positionsberechnung eine um Δr=c⋅Δt= 300 km zu lange Entfernung r zum Satelliten! Teste selbst:
Die gute Nachricht: Dann tut es das auch bei allen anderen Satelliten deren Atomuhren ja stets synchron gehalten werden ! Statt der korrekten Entfernungen r1, r2 und r3 zu den Satelliten S1, S2 und S3 errechnet das Navi die Pseudostrecken vom wahren Wert abweichenden ρ1=r1+Δr, ρ2=r2+Δr und ρ3=r3+Δr.
Misst das Navi also eine Pseudoentfernung ρ, dann ist die wahre Entfernung r=ρ−Δr. Um die Ortskoordinaten x, y und z des Empfängers zu berechnen, müssen wir im zur Trilateration gehörigen Gleichungssytem also nur ri durch ρi−Δr (i=1,2,3) ersetzen: (x−xS1)2+(y−yS1)2+(z−zS1)2=(ρ1−Δr)2(1)(x−xS2)2+(y−yS2)2+(z−zS2)2=(ρ2−Δr)2(2)(x−xS3)2+(y−yS3)2+(z−zS3)2=(ρ3−Δr)2(3)
Da wir aber die Zeitabweichung Δt der Navi-Uhr und damit die Längenabweichung Δr=c⋅Δt nicht kennen, enthalten diese drei Gleichungen vier Unbekannte: x, y, z und Δr. Eine zuviel!
Nicht, wenn wir noch einen vierten Satelliten S4 hinzuziehen:
(x−xS1)2+(y−yS1)2+(z−zS1)2=(ρ1−Δr)2(1)(x−xS2)2+(y−yS2)2+(z−zS2)2=(ρ2−Δr)2(2)(x−xS3)2+(y−yS3)2+(z−zS3)2=(ρ3−Δr)2(3)(x−xS4)2+(y−yS4)2+(z−zS4)2=(ρ4−Δr)2(4)
Vier Gleichungen – vier Unbekannte –
lösbar
Das nichtlineare Gleichungssystem ist nicht ganz einfach zu knacken, aber dafür hat das Navi einen Taschenrechner
eingebaut.
!
Neben den Ortskoordinaten x, y und z unseres Navis enthält die Lösung dieses Gleichungssystems – sozusagen als Sahnehäubchen – noch Δr und damit
die Zeitabweichung Δt=Δrc der Navi-Uhr von der supergenauen Satelliten-Zeit.
Ein GNSS liefert also nicht nur den Standort sondern auch die (atom-)genaue Uhrzeit!
Dazu müssen aber jederzeit und überall mindestens 4 Satelliten in Sicht sein.
erstellt von C. Wolfseher