Wie funktioniert ein Navi? | © C. Wolfseher

Trilateration - Wo bin ich? | GNSS

Ich bin

2 LE Längeneinheiten von $S_1$
3,5 von $S_2$
und 4 von $S_3$

entfernt. Kannst du meine Position bestimmen?

Ändere den Blickwinkel mit gedrückter Maustaste!

Du hast mich entdeckt! Ich befinde mich in $P$, einem der beiden Schnittpunkte der Kugel um $S_3$ mit dem Schnittkreis der Kugeln um $S_1$ und $S_2$.

Trilateration Im Unterschied zur Triangulation werden drei Längen statt drei Winkel gemessen. heißt dieses Prinzip der Ortsbestimmung auf dem auch die Globalen Navigationssatellitensysteme GNSS basieren. Wenn du die Position von 3 Satelliten Kennst du deine Höhe (z. B. auf dem Meer) reichen theoretisch 2. und deine Entfernungen zu ihnen kennst, kannst du – oder dein Navigationsgerät – deine Position $(x|y|z)$ Die kartesischen Koordinaten (x|y|z) können auch in Kugelkoordianten (r;λ;φ) umgerechnet werden. im geozentrischen Ursprung im Erdmittelpunkt, z-Achse durch die Pole und x-Achse durch den Null-Meridian Koordinatensystem berechnen.

Algebraisch sieht der Schnitt von drei Kugeln so aus:

Liegt ein Punkt $P(x | y | z)$ sowohl auf der Kugel $K_1(S_1; r_1)$ mit Mittelpunkt $S_1(x_{S_1} | y_{S_1} | z_{S_1})$ und Radius $r_1$ als auch auf $K_2(S_2; r_2)$ und $K_3(S_3; r_3)$, dann lösen seine Koordinaten $x$, $y$ und $z$ alle drei Kugelgleichungen des Gleichungssystems $$\begin{matrix} (x - x_{S_1})^2 + (y - y_{S_1})^2 + (z - z_{S_1})^2 = {r_1}^2 \quad (1) \\ (x - x_{S_2})^2 + (y - y_{S_2})^2 + (z - z_{S_2})^2 = {r_2}^2 \quad (2)\\ (x - x_{S_3})^2 + (y - y_{S_3})^2 + (z - z_{S_3})^2 = {r_3}^2 \quad (3)\\ \end{matrix}$$ Die nicht ganz einfache Lösung dieses Gleichungssystems nichtlinearen übernimmt der Rechenchip unseres Navigationsgerätes. Das System hat zwei Lösungen wie die geometrische Lösung bereits zeigte $P(x | y | z)$ und $P'(x' | y' | z')$. In einer stehen wir, die andere liegt meist weit im Weltall und kann verworfen werden.

Die Position der Satelliten erfährst du von ihnen selbst. Unermüdlich funken sie im Millisekunden-Takt in alle Richtungen:

Hallo, hier ist Satellit $S_i$. Ich bin gerade in $(x_{S_i}|y_{S_i}|z_{S_i})$ Eigentlich funkt der Sat seine aktuellen Bahnparameter, die deinem Navi dann seine Position verraten. und meine neue Atomuhr zeigt exakt $t_{Si}$ an.

Da die Satelliten aber nicht wissen, wo du bist, können sie dir ihre Entfernung $r_{i}$ nicht mitteilen. Die musst du schon selbst rausfinden ...

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erstellt von C. Wolfseher