physische Doppelsterne | C. Wolfseher

Der Hammerwerfer zieht an der Kugel und die Kugel am Werfer. Trotz dieser kommen sich die beiden nicht näher sondern kreisen in mit gleicher Winkelgeschwindigkeit $\omega$ umeinander.

Solange nur die innere Kraft zwischen Werfer $W$ und Kugel $K$ wirkt, gilt der Schwerpunktsatz. Beide kreisen um ihren unbeweglichen und unsichtbaren Schwerpunkt. Wegen ihrer unterschiedlichen Massen $m$ allerdings mit verschiedenen Bahnradien $r$.

Da die Zentripetalkräfte $F_Z$ der beiden Kreisbewegungen gleich groß sind, gilt: $$F_{Z,W}=m_W\cdot\omega^2\cdot r_W=m_K\cdot\omega^2\cdot r_K=F_{Z,K}$$ und somit $$m_W\cdot r_W=m_K\cdot r_K \qquad \text{ oder } \qquad \frac{r_W}{r_K}=\frac{m_K}{m_W}$$

Der schwerere Werfer bewegt sich auf einem kleineren Kreis um den Schwerpunkt als die leichtere Kugel.

Sehr interessant. Aber wir wollten doch über Doppelsterne reden. — Tun wir bereits. Ersetze Kugel und Hammerwerfer einfach durch zwei Sterne $A$ und $B$ und wir erhalten $$\frac{r_A}{r_B}=\frac{m_B}{m_A} \qquad (1)$$

Natürlich ist zwischen den Himmelskörpern kein Seil gespannt. Die Rolle der Zentripetalkraft übernimmt die Gravitationskraft $F_G$, die sie wechselseitig aufeinander ausüben. Für ein solches Zweikörpersystem gilt: $$\frac{r^3}{T^2}=G \cdot \frac{m_A + m_B}{4\pi^2} \qquad (2)$$ Darin ist $r=r_A+r_B$ der Abstand der umlaufenden Sterne(nmittelpunkte), $T$ ihre Umlaufzeit und $G$ die .

Die Zentripetalkraft $F_{Z,A}$, die Körper $A$ auf seiner Kreisbahn Im allgemeinen Fall einer elliptischen Bahn ist der Radius $r$ durch die große Halbachse $a$ zu ersetzen. hält, ist die Gravitationskraft $F_G$ des Partners $B$: $$F_{Z,A}=m_A \cdot \omega^2 \cdot r_A = G \cdot \frac{m_A \cdot m_B}{r^2}=F_G \qquad (*)$$

Mit $r=r_A+r_B$ folgt aus Formel (1) $$\frac{r_A}{r_B}=\frac{m_B}{m_A}$$ : $$r_A \cdot m_A \overset{(1)}{=} \cssId{gelb}{r_B} \cdot m_B = \cssId{gelb}{(r-r_A)} \cdot m_B = r \cdot m_B - r_A \cdot m_B$$ also $$r_A \cdot m_A + r_A \cdot m_B =r \cdot m_B \, \Rightarrow \, r_A=\cssId{blau}{\frac{m_B}{m_A+m_B}\cdot r}$$ in $(*)$: $$m_A \cdot \omega^2 \cdot \cssId{blau}{\frac{m_B}{m_A+m_B}\cdot r} = G \cdot \frac{m_A \cdot m_B}{r^2}$$ und vereinfacht: $$\omega^2 = G \cdot \frac{m_A + m_B}{r^3}$$ Mit der Umlaufzeit $T$ und $\omega=\frac{2\pi}{T}$ erhalten wir nach Umstellung Formel (2): $$\frac{r^3}{T^2}=G \cdot \frac{m_A + m_B}{4\pi^2}$$

Für den Fall $m_A \ll m_B$ können wir $m_A + m_B \approx m_B$ setzen und erhalten das 3. Keplersche Gesetz, wobei $B$ der und $A$ ein ihn umlaufender ist. $$\frac{{r_S}^3}{{T_S}^2}=\text{const.}=G \cdot \frac{m_Z}{4\pi^2}$$ Der ist dann weit zum schwereren $Z$ hin verschoben. So weit, dass er sogar im Inneren des Körpers liegen kann. Das Umlaufen des Schwerpunkts, die Revolution, sieht dann eher wie ein Taumeln aus.