Noch nie hat ein Mensch ein Elektron gesehen. Woher wollen die Physiker dann wissen, welche Masse \(m\) es hat? Daher:
Die von einer Glühkathode emittierten Elektronen werden fokussiert, durch eine Spannung \(U\) auf die Geschwindigkeit \(v\) beschleunigt und so senkrecht zu den Feldlinien in das weitgehend homogene Magnetfeld der Flussdichte \(B\) eines vom Strom \(I\) durchflossenen Helmholtz-Spulenpaars geschossen.
Das Ganze passiert in einer mit etwas Gas beispielsweise Wasserstoffatmosphäre von niedrigem Druck gefüllten Glaskugel. Wie in Glimmlampen leuchten die von einzelnen Die anderen fliegen unbeirrt wie im Vakuum weiter. Elektronen getroffenen Gasmoleküle und geben so die Bahn der Elektronen ähnlich wie der Kondensstreifen die Bahn eines Flugzeugs verrät in Form eines dünnen Fadenstrahls Man nennt den Versuchsaufbau deshalb Fadenstrahlrohr. preis.
Die Elektronen erfahren im Magnetfeld die Lorentzkraft \(F_L\). Diese steht stets senkrecht zur Bewegungsrichtung der
Elektronen, wirkt also als Zentripetalkraft \(F_Z\), die sie auf eine Kreisbahn mit Radius \(r\) zwingt.
In jedem Punkt der Bahn gilt also:
$$F_Z = F_L$$
und damit
$$\frac{mv^2}{r}=B\cdot e \cdot v \quad(1)$$
Hurra! In dieser Gleichung steckt die gesuchte Masse \(m\) des Elektrons. Die magnetische Flussdichte \(B\) können wir aus den Daten der Helmholtz-Spulen berechnen oder mit einer Hall-Sonde messen und mit dem Spulenstrom \(I\) regulieren. Den Bahnradius \(r\) bestimmen wir mit Hilfe der im Abstand von 1 cm angebrachten phosphoreszierenden Marken. Und \(v\) errechnet sich mit der Beschleunigungsspannung \(U\) aus dem Energie-Ansatz: $$\frac{1}{2}m\cdot v^2 = e\cdot U \quad(2)$$
Neben \(m\) bleibt uns das Experiment aber auch die Elementarladung \(e\) des Elektrons schuldig. Begnügen wir uns also zunächst mit der Bestimmung der spezifischen Ladung \(e/m\) des Elektrons.
aus (1): $$\begin{eqnarray}\frac{mv^2}{r}&=&B\cdot e \cdot v \quad \mid \,:m \,:v \,\cdot r \\ v&=&\frac{e}{m}\cdot B\cdot r \quad(3)\end{eqnarray}$$ aus (2): $$v=\sqrt{\frac{2\cdot e \cdot U}{m}} \quad (4)$$ (4) in (3): $$\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{2\cdot e \cdot U}{m}}&=&\frac{e}{m}\cdot B\cdot r \\ 2\cdot U \cdot \frac{e}{m}&=&\left(\frac{e}{m}\right)^2\cdot B^2\cdot r^2 \Rightarrow \end{eqnarray}$$
Alle Größen der rechten Seite der Gleichung sind mit dem Fadenstrahlrohr messbar.
beispielsweise $$\frac{2\cdot 224\,\mathrm{V}}{\left(1{,}44\,\mathrm{mT}\right)^2\cdot\left(3{,}5\,\mathrm{cm}\right)^2} \approx 1{,}76\cdot {10}^{11}\,\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{kg}}$$
1 kg Elektronen hat also die riesige Ladung 176 Milliarden C. Mit Kenntnis der Elementarladung \(e\) beispielsweise aus dem Millikan-Versuch, können wir nun die Masse \(m\) des Elektrons berechnen.
$$m\approx\frac{1{,}60\cdot {10}^{-19}\,\mathrm{C}}{1{,}76\cdot {10}^{11}\,\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{kg}}}$$
erstellt von C. Wolfseher mit GeoGebra