6. OC-Kurve | Signifikanztest

Eine Werbeagentur soll den Bekanntheitsgrad \(p\) eines Politikers untersuchen. Sie stellt die Nullhypothese \(H_0: p \le 20\, \%\) auf. Kennen nicht mehr als \(Z=12\) von \(n=50\) Befragten den Politiker, soll \(H_0\) angenommen und der Politiker in diverse Talk-Shows geschickt werden.

Der tatsächliche Bekanntheitsgrad \(p\) bleibt auch nach der Umfrage unbekannt. Wir können jedoch für jeden fraglichen Bekanntheitsgrad \(p\) die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass \(H_0\) – ob zu Recht oder nicht – angenommen wird. Die Funktion $$p\mapsto P(Z \in A)$$ heißt Operations-Charakterisitik und ihr Graph OC-Kurve des Tests.

Justieren Sie alle Parameter gemäß dem Test der Werbeagentur! \(n=50;\, p_0=0,2;\) rechtsseitiger Test mit \(A=\{0,..., 12\}\)

• Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird aufgrund des Umfrageergebnisses eine Werbekampagne für den Politiker gestartet, wenn in Wahrheit \(p=\) 10 % (15 %; 20 %; 25 %; 30 %) der Bevölkerung den Politiker kennen? $$P_{p}^{50}(Z\in A)\approx 100 \,\% \,(97 \,\%; 81 \,\%; 51 \,\%; 22 \,\% )$$
• Die Werbeagentur will Geld sparen und befragt (ohne Abänderung des Annahmebereichs \(A\)) nur 40 Personen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird nun irrtümlicherweise die Werbetrommel gerührt, wenn in Wahrheit ein Viertel der Bevölkerung den Politiker kennt? $$P_{0,25}^{40}(Z\in A)\approx 82 \,\%$$
• Der Test soll mit 100 Befragten auf einem Signifikanzniveau von 5 % durchgeführt werden. Wie ist der Annahmebereich \(A\) zu wählen und wie groß ist dann das Risiko 2. Art, wenn in Wahrheit ein Viertel der Bevölkerung den Politiker kennt? $$A=\{0; ...; 27\}; \, P_{0,25}^{100}(Z\in A)\approx 72 \,\%%$$
• Wie sieht die OC-Kurve eines idealen Tests aus und wie kann man sich ihr nähern? $$n \to \infty$$

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