5. Links oder Rechts | Signifikanztest

Ein Automobilhersteller versichert, dass mindestens 60 % seiner Fahrzeuge auch unter realen Fahrbedingungen (zum Beispiel im Stadtverkehr) die Abgasgrenzwerte einhalten würden. Die ärztliche Hilfsorganisation für an Asthma erkrankte Kinder meint, dass es höchstens 60 % sind.

Beide planen einen Test mit der Nullhypothese \(H_0: p=60\,\%\) mit Stichprobenumfang \(n=100\) und Signifikanzniveau \(\alpha=5\,\%\). Die (binomialverteilte) Testgröße \(Z\) sei die Anzahl der Fahrzeuge, welche die Abgasgrenzwerte einhalten.

Welche Gegenhypothese verwendet der Automobilhersteller? Er verwendet die Gegenhypothese \(H_1: p\lt 60\,\%\).	Welche Gegenhypothese verwendet die Hilfsorganisation? Sie verwendet die Gegenhypothese \(H_1: p\gt 60\,\%\).
Wie lautet der Fehler 1. Art aus der Sicht des Automobilherstellers? Der Test bescheinigt, dass weniger als 60 % der Fahrzeuge die Abgasgrenzwerte einhalten, obwohl dass in Wahrheit nicht stimmt.	Wie lautet der Fehler 1. Art aus der Sicht der Hilfsorganisation? Der Test bescheinigt, dass mehr als 60 % der Fahrzeuge die Abgasgrenzwerte einhalten, obwohl dass in Wahrheit nicht stimmt.
Wie könnte der Ablehnungsbereich \(\bar A\) für \(H_0\) aussehen? \(H_0\) wird abgelehnt, wenn deutlich weniger als 60 von 100 Fahrzeugen den Abgastest bestehen: $$\bar A=\{0, ..., k\}$$	Wie könnte der Ablehnungsbereich \(\bar A\) für \(H_0\) aussehen? \(H_0\) wird abgelehnt, wenn deutlich mehr als 60 von 100 Fahrzeugen den Abgastest bestehen: $$\bar A=\{k+1, ..., 100\}$$
Bestimmen Sie die Entscheidungsregel des Automobilherstellers! $$\alpha' = P_{0,6}^{100}(Z\le k)\le 5\,\%$$ Die kumulative Verteilungsfunktion liefert $$k\le51$$ und damit die Entscheidungsregel $$\bar A=\{0, ..., 51\}; A=\{52, ..., 100\}.$$	Bestimmen Sie die Entscheidungsregel der Hilfsorganisation! $$\begin{align} \alpha' = P_{0,6}^{100}(Z \ge k+1) &\le 5\,\% \\ 1-P_{0,6}^{100}(Z \le k) &\le 5\,\% \\ P_{0,6}^{100}(Z \le k) &\ge 95\,\% \end{align} $$ Die kumulative Verteilungsfunktion liefert $$k\ge68$$ und damit die Entscheidungsregel $$A=\{0, ..., 68\}; \bar A=\{69, ..., 100\}.$$

Allgemein unterscheidet man:

linksseitiger Signifikanztest	rechtsseitiger Signifikanztest
\(H_0: p=p_0\) oder \(p\ge p_0\)	\(H_0: p=p_0\) oder \(p\le p_0\)
\(H_1: p \lt p_0\)	\(H_1: p \gt p_0\)
Ablehnungsbereich \(\bar A=\{0, ..., k\}\) liegt links vom Erwartungswert von \(Z\)	Ablehnungsbereich \(\bar A=\{k+1, ..., n\}\) liegt rechts vom Erwartungswert von \(Z\)
\(\alpha' = P_{p_0}^{n}(Z\le k)\)	\(\begin{align} \alpha' &= P_{p_0}^{n}(Z \ge k+1) \\ &= 1-P_{p_0}^{n}(Z \le k) \end{align}\)

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