Die Gärtnerkonstruktion veranschaulicht die Definition der Ellipse als Punktmenge:
Die Menge aller Punkte (in der Ebene), für welche die Summe ihrer beiden Entfernungen zu zwei festen Punkten konstant ist, heißt Ellipse.
Die beiden festen Punkte nennt man
Brennpunkte \(F_1\) und \(F_2\).
In der Mitte zwischen ihnen liegt der
Mittelpunkt \(M\)
der Ellipse.
Die Gerade durch die Brennpunkte heißt Hauptachse und die dazu orthogonale Gerade durch \(M\) Nebenachse der Ellipse.
Die Ellipse ist
punktsymmetrisch
zu \(M\) und
achsensymmetrisch
zur Haupt- und Nebenachse.
Die Schnittpunkte der Ellipse mit der Hauptachse nennt man
Hauptscheitel \(S_1\) und \(S_2\),
die mit der Nebenachse Nebenscheitel \(S_3\) und \(S_4\).
Die Strecke von \(M\) zu einem Hauptscheitel bezeichnet man als
große Halbachse mit der Länge \(a\),
die Strecke von \(M\) zu einem Nebenscheitel als
kleine Halbachse mit der Länge \(b\).
Die Entfernung der Brennpunkte vom Mittelpunkt heißt
lineare Exzentrizität \(e\).
\(\overline{X F_1}+\overline{X F_2}\) ist immer gleich lang. Wie lang? Zwei große Halbachsen, also \(2a\) lang.
Platziere \(X\) auf einem Nebenscheitel. Welcher Zusammenhang von \(a\), \(b\) und \(e\) wird nun ersichtlich? Pythagoras liefert: \(a^2=b^2+e^2\)
Erläutere die Extremwerte der numerischen Exzentrizität \(\varepsilon\)! Für \(\varepsilon=0\) ist \(a=b\) und die Ellipse ein Kreis, für \(\varepsilon=1\) ist \(b=0\) und die Ellipse eine Strecke.
Eine Ellipse ist also die Punktmenge
$$E=\left\{ X \mid \overline{X F_1}+\overline{X F_2}=2a \right\}$$