Wir füttern eine Tabellenkalkulation mit unserer erarbeiteten Iterationsformel: $$u_{2n}=n \cdot \sqrt{2-2\sqrt{1-\left(\frac{u_n}{n}\right)^2}}$$

\(u_n\) sind die Umfänge der einbeschriebenen, regulären \(n\)-Ecke eines Kreises mit dem Radius \(r=\frac{1}{2}\).

Hoppla! Spätestens beim 393216-Eck ist etwas faul. Sein Umfang ist kleiner als der seines Vorgängers. Das kann nicht sein, denn wir haben gezeigt: \(u_n \lt u_{2n}\). Die nachfolgenden Iterationsschritte bestätigen das Versagen der Iteration.

Schuld ist der Computer! Die Werte der (äußeren) Wurzel der Iterationsformel werden mit großem \(n\) sehr klein. So klein, dass die für einen Computer unvermeidlichen Rundungsfehler zu völlig falschen Ergebnissen führen. Das passiert immer, wenn Minuend und Subtrahend nahezu gleich sind.

Wir müssen Differenzen beseitigen. Abhilfe schafft eine Äquivalenzumformung der Iterationsformel.