| Welche Höhe erreicht der Ballon nach 20 min? |
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Bisher untersuchten wir Integrale mit festen Grenzen wie \(\int_a^b{v(t)dt}\). Sie dienen der Berechnung von Flächenbilanzen, welche die Gesamtänderung von Größen im Intervall \([a;b]\) darstellen.
Betrachtet man nun die obere Integrationsgrenze \(b\) als Variable \(x\), entsteht eine neue Funktion. So wird beispielsweise für die Integrandenfunktion \(f: t \mapsto t-1\) durch $$I_3: x \mapsto I_3(x) = \int\limits_3^x{f(t)dt} = \int\limits_3^x{(t-1)dt}$$ jeder Zahl \(x \in \mathbb{R}\) ein Funktionswert zugeordnet.
Verschiebe \(x\) langsam nach links und beobachte:
Interessant. Der Graph \(G_{I_a}\) sieht aus wie 'ne Parabel. Halten wir aber zunächst fest:
Definition
Die Funktion \(f: t \mapsto f(t)\) sei mit ihrem Definitionsbereich \(D_f\) gegeben. Dann heißt für \(a \in D_f\) die Funktion $$I_a: x \mapsto I_a(x) = \int\limits_a^x{f(t)dt}$$ Integralfunktion von \(f\) zur unteren Grenze \(a\).Und wenn man die untere Integrationsgrenze \(a\) variiert?
erstellt von C. Wolfseher