Die Flugbahn des Balls nennt man Parabel. Eingebettet in ein Koordinatensystem ist sie der Graph einer quadratischen Funktion $$ f: x \mapsto ax^2+bx+c \qquad (a \neq 0)$$
Die Koeffizienten \(a\), \(b\) und \(c\) bestimmen Form und Position der Parabel im Koordinatensystem. Der Graph der Funktion \(f: x \mapsto x^2\) mit \(a=1\), \(b=0\) und \(c=0\) heißt Normalparabel. Den höchsten oder tiefsten Punkt der Parabel — je nachdem, ob sie nach unten oder oben geöffnet ist — nennt man Scheitel \(S\). Die Parallele zur \(y\)-Achse durch \(S\) ist Symmetrieachse der Parabel.
Der Funktionsgraph schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \(\left( 0 \middle| c \right)\) und die \(x\)-Achse in höchstens zwei Punkten. Entsprechend hat die Nullstellengleichung \(f(x)=ax^2+bx+c=0\)
Die \(x\)-Koordinate \(x_S\) des Scheitelpunkts \(S\) liegt wegen der Symmetrie der Parabel in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\): $$x_S=\frac{1}{2}\left(x_1+x_2\right)$$
Jede quadratische Funktion \(f: x \mapsto ax^2+bx+c\) lässt sicht durch quadratische Ergänzung auf die Scheitelpunktform $$f(x)=a {\left(x+d\right)}^2 +e$$ bringen, an der die Koordinaten des Scheitelpunkts \(S\left(-d \middle| e \right)\) abgelesen werden können, wobei $$d=\frac{b}{2a} \text{ und } e=c-\frac{b^2}{4a}$$ also $$S\left( \frac{-b}{2a} \middle| c-\frac{b^2}{4a} \right).$$
Die zugehörige Parabel ist
erstellt von C. Wolfseher