Die Spannung des Netzgeräts $U_0$ ist gleich der Summe der Teilspannungen $U_R$ am Widerstand und $U_C$ am Kondensator (Kirchhoffsche Maschenregel): $$\begin{align} U_R+U_C&=U_0 \\ R\cdot I+\frac{Q}{C}&=U_0\\ R\cdot \dot{Q}+\frac{Q}{C}&=U_0\\ \dot{Q}+\underbrace{\frac{1}{R\cdot C}}_{\lambda}\cdot Q&=\frac{U_0}{R}\\ \end{align}$$ Mit der Substitution $\lambda=\frac{1}{R\cdot C}$ erhalten wir die Differentialgleichung $$\dot{Q}+\lambda \cdot Q=\frac{U_0}{R}$$ mit der Lösung

Wegen $U_C=\frac{Q}{C}$ ergibt die Division von $Q(t)$ durch $C$ den zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung:

Die Kondensatorspannung startet also bei $$U_C(0)=U_0 \left( {1 - {e^{ - \lambda \cdot 0}}} \right)=0$$ und nähert sich asymptotisch der Spannung des Netzgeräts: $$\lim\limits_{t\to\infty}\left[U_0 \left( {1 - {e^{ - \lambda \cdot t}}} \right)\right]=U_0$$

Die Ableitung von $Q(t)$ liefert den zeitlichen Verlauf des Ladestroms: $$\begin{align} I(t)&=Q'(t) \\ \, &= \left( {Q_0 - Q_0\cdot{e^{ - \lambda \cdot t}}} \right)'\\ \, &= 0 - Q_0\cdot (-\lambda)\cdot{e^{ - \lambda \cdot t}}\\ \, &= \frac{Q_0}{R \cdot C} \cdot{e^{ - \lambda \cdot t}}\\ \, &= \underbrace{\frac{U_0}{R}}_{I_0} \cdot{e^{ - \lambda \cdot t}}\\ \end{align}$$ und damit

Der Strom fällt also exponentiell von $$I(0)=I_0 \cdot e^{ - \lambda \cdot 0} =I_0=\frac{U_0}{R}$$ auf $$\lim\limits_{t\to\infty}\left(I_0 \cdot e^{ - \lambda \cdot t}\right)=0$$ ab.

Die Halbwertszeit $T_H$ beträgt dabei $$\begin{align} e^{ - \lambda \cdot T_H}&=\frac{1}{2}\\ e^{\lambda \cdot T_H}&=2\\ \lambda \cdot T_H&=\ln 2\\ T_H&= \frac{\ln 2}{\lambda} \\ \end{align}$$ Mit $\lambda=\frac{1}{R \cdot C}$ erhalten wir

Nach Abtrennung des Netzgeräts verbleiben die Teilspannungen $U_R$ am Widerstand und $U_C$ am Kondensator und es gilt (Kirchhoffsche Maschenregel): $$\begin{align} U_R+U_C&=0 \\ R\cdot I+\frac{Q}{C}&=0\\ R\cdot \dot{Q}+\frac{Q}{C}&=0\\ \dot{Q}+\underbrace{\frac{1}{R\cdot C}}_{\lambda}\cdot Q&=0\\ \end{align}$$ Mit der Substitution $\lambda=\frac{1}{R\cdot C}$ erhalten wir die Differentialgleichung $$\dot{Q}+\lambda \cdot Q=0$$ mit der Lösung

Darin sei $Q_0$ die zu Beginn $t=0$ des Entladevorgangs vorhandene Ladung des auf $U_0$ geladenen Kondensators.

Wegen $U_C=\frac{Q}{C}$ ergibt die Division von $Q(t)$ durch $C$ den zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung:

Die Spannung fällt also exponentiell von $$U_C(0)=U_0 \cdot e^{ - \lambda \cdot 0} =U_0$$ auf $$\lim\limits_{t\to\infty}\left(U_0 \cdot e^{ - \lambda \cdot t}\right)=0$$ ab.

Die Ableitung von $Q(t)$ liefert den zeitlichen Verlauf des Ladestroms: $$\begin{align} I(t)&=Q'(t) \\ \, &= \left( Q_0\cdot{e^{ - \lambda \cdot t}} \right)'\\ \, &= Q_0\cdot (-\lambda)\cdot{e^{ - \lambda \cdot t}}\\ \, &= -\frac{Q_0}{R \cdot C} \cdot{e^{ - \lambda \cdot t}}\\ \, &= \underbrace{-\frac{U_0}{R}}_{I_0 \lt 0} \cdot e^{ - \lambda \cdot t}\\ \end{align}$$ und damit

Der Entladestroms startet bei $$I(0)=I_0 \cdot e^{ - \lambda \cdot 0} =I_0=-\frac{U_0}{R}$$ und nähert sich asymptotisch 0: $$\lim\limits_{t\to\infty}\left(I_0 \cdot e^{ - \lambda \cdot t}\right)=0$$ Lade- und Entladestrom haben entgegengesetztes Vorzeichen und damit entgegengesetzte Fließrichtung.

Die Halbwertszeit $T_H$ der exponentiellen Verläufe beträgt $$\begin{align} e^{ - \lambda \cdot T_H}&=\frac{1}{2}\\ e^{\lambda \cdot T_H}&=2\\ \lambda \cdot T_H&=\ln 2\\ T_H&= \frac{\ln 2}{\lambda} \\ \end{align}$$ Mit $\lambda=\frac{1}{R \cdot C}$ erhalten wir