Im dargestellten \(RC\)-Kreis kann man den Kondensator mit der Kapazität \(C\) über den Widerstand \(R\) aufladen (A) oder entladen (E).
Das folgende Diagramm zeigt den zeitlichen Verlauf des Stroms \(I\) und der Spannung \(U_C\) am Kondensator.
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Kausalkette des Ladevorgangs (ausgehend vom vollkommen entladenen Kondensator):
Die Spannung des Netzgeräts \(U_0\) ist gleich der Summe der Teilspannungen \(U_R\) am Widerstand und \(U_C\) am Kondensator (Kirchhoffsche Maschenregel): $$\begin{align} U_R+U_C&=U_0 \\ R\cdot I+\frac{Q}{C}&=U_0\\ R\cdot \dot{Q}+\frac{Q}{C}&=U_0\\ \dot{Q}+\underbrace{\frac{1}{R\cdot C}}_{\lambda}\cdot Q&=\frac{U_0}{R}\\ \end{align}$$ Mit der Substitution \(\lambda=\frac{1}{R\cdot C}\) erhalten wir die Differentialgleichung $$\dot{Q}+\lambda \cdot Q=\frac{U_0}{R}$$ mit der Lösung
Wegen \(U_C=\frac{Q}{C}\) ergibt die Division von \(Q(t)\) durch \(C\) den zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung:
Die Kondensatorspannung startet also bei $$U_C(0)=U_0 \left( {1 - {e^{ - \lambda \cdot 0}}} \right)=0$$ und nähert sich asymptotisch der Spannung des Netzgeräts: $$\lim\limits_{t\to\infty}\left[U_0 \left( {1 - {e^{ - \lambda \cdot t}}} \right)\right]=U_0$$
Die Ableitung von \(Q(t)\) liefert den zeitlichen Verlauf des Ladestroms: $$\begin{align} I(t)&=Q'(t) \\ \, &= \left( {Q_0 - Q_0\cdot{e^{ - \lambda \cdot t}}} \right)'\\ \, &= 0 - Q_0\cdot (-\lambda)\cdot{e^{ - \lambda \cdot t}}\\ \, &= \frac{Q_0}{R \cdot C} \cdot{e^{ - \lambda \cdot t}}\\ \, &= \underbrace{\frac{U_0}{R}}_{I_0} \cdot{e^{ - \lambda \cdot t}}\\ \end{align}$$ und damit
Der Strom fällt also exponentiell von $$I(0)=I_0 \cdot e^{ - \lambda \cdot 0} =I_0=\frac{U_0}{R}$$ auf $$\lim\limits_{t\to\infty}\left(I_0 \cdot e^{ - \lambda \cdot t}\right)=0$$ ab.
Die Halbwertszeit \(T_H\) beträgt dabei $$\begin{align} e^{ - \lambda \cdot T_H}&=\frac{1}{2}\\ e^{\lambda \cdot T_H}&=2\\ \lambda \cdot T_H&=\ln 2\\ T_H&= \frac{\ln 2}{\lambda} \\ \end{align}$$ Mit \(\lambda=\frac{1}{R \cdot C}\) erhalten wir
Kausalkette des Entladevorgangs (ausgehend vom geladenen Kondensator):
Nach Abtrennung des Netzgeräts verbleiben die Teilspannungen \(U_R\) am Widerstand und \(U_C\) am Kondensator und es gilt (Kirchhoffsche Maschenregel): $$\begin{align} U_R+U_C&=0 \\ R\cdot I+\frac{Q}{C}&=0\\ R\cdot \dot{Q}+\frac{Q}{C}&=0\\ \dot{Q}+\underbrace{\frac{1}{R\cdot C}}_{\lambda}\cdot Q&=0\\ \end{align}$$ Mit der Substitution \(\lambda=\frac{1}{R\cdot C}\) erhalten wir die Differentialgleichung $$\dot{Q}+\lambda \cdot Q=0$$ mit der Lösung
Wegen \(U_C=\frac{Q}{C}\) ergibt die Division von \(Q(t)\) durch \(C\) den zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung:
Die Spannung fällt also exponentiell von $$U_C(0)=U_0 \cdot e^{ - \lambda \cdot 0} =U_0$$ auf $$\lim\limits_{t\to\infty}\left(U_0 \cdot e^{ - \lambda \cdot t}\right)=0$$ ab.
Die Ableitung von \(Q(t)\) liefert den zeitlichen Verlauf des Ladestroms: $$\begin{align} I(t)&=Q'(t) \\ \, &= \left( Q_0\cdot{e^{ - \lambda \cdot t}} \right)'\\ \, &= Q_0\cdot (-\lambda)\cdot{e^{ - \lambda \cdot t}}\\ \, &= -\frac{Q_0}{R \cdot C} \cdot{e^{ - \lambda \cdot t}}\\ \, &= \underbrace{-\frac{U_0}{R}}_{I_0 \lt 0} \cdot e^{ - \lambda \cdot t}\\ \end{align}$$ und damit
Der Entladestroms startet bei $$I(0)=I_0 \cdot e^{ - \lambda \cdot 0} =I_0=-\frac{U_0}{R}$$ und nähert sich asymptotisch 0: $$\lim\limits_{t\to\infty}\left(I_0 \cdot e^{ - \lambda \cdot t}\right)=0$$ Lade- und Entladestrom haben entgegengesetztes Vorzeichen und damit entgegengesetzte Fließrichtung.
Die Halbwertszeit \(T_H\) der exponentiellen Verläufe beträgt $$\begin{align} e^{ - \lambda \cdot T_H}&=\frac{1}{2}\\ e^{\lambda \cdot T_H}&=2\\ \lambda \cdot T_H&=\ln 2\\ T_H&= \frac{\ln 2}{\lambda} \\ \end{align}$$ Mit \(\lambda=\frac{1}{R \cdot C}\) erhalten wir
siehe auch: Selbstinduktion | Ein- und Ausschaltvorgang im RL-Kreis
erstellt von C. Wolfseher