Herleitung der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises

Mit der Formel \(U=2\pi\cdot r\) zur Berechung des Umfangs \(U\) eines Kreises mit dem Radius \(r\) können wir eine Formel für seinen Flächeninhalt herleiten. Dazu zerlegen wir den Kreis zunächst in \(n\) gleiche Sektoren und ordnen sie zu einer neuen Figur an:

Mit steigender Anzahl \(n\) der Sektoren nähert sich diese Figur einem Rechteck an.

• Wie lang ist dieses Rechteck? \(\frac{1}{2}U\)
• Wie breit ist dieses Rechteck? \(r\)

\begin{align} A_{Kreis} &= A_{Rechteck}\\ \, &= \cssId{Step1}{\frac{1}{2}U \cdot r}\\ \, &= \cssId{Step2}{\frac{1}{2} \cdot2\pi\cdot r \cdot r}\\ \, &= \cssId{Step3}{\pi\cdot r^2} \end{align}

• Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Kreises, wenn man seinen Radius verdoppelt?

  \(A_{neu}=\pi\cdot \left(2\cdot r_{alt}\right)^2= \pi\cdot 4 \cdot r_{alt}^2= 4\cdot A_{alt} \). Er vervierfacht sich.

• Mit welchem Faktor \(x\) muss man den Radius eines Kreises strecken, damit sich sein Flächeninhalt verdoppelt? $$\pi\cdot \left(x\cdot r\right)^2=\pi\cdot x^2 \cdot r^2 \stackrel{!}{=}2\cdot\ \pi \cdot r^2 \Rightarrow x^2=2 \Rightarrow x=\sqrt{2}\approx 1,414 $$

Und wie berechnet man die Kreiszahl \(\pi\)?