Wie kommt der Sinus in die Steckdose?

Eine Leiterschleife umfasst den Flächeninhalt $A$ und rotiert gleichförmig mit der Winkel­geschwindig­keit $\omega$ im homogenen Magnetfeld der Flussdichte $B$. Durch Änderung des magnetischen Flusses $\Phi$ wird dabei eine Spannung $U_i$ induziert.

Die vom Magnetfeld senkrecht durchflutete Fläche $A_s$ ändert sich mit dem Drehwinkel $\varphi$: $$A_s=A \cdot \cos \varphi$$

Dreht sich die Leiterschleife mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega=\frac{\varphi}{t}$, so gilt für den Drehwinkel: $$\varphi=\omega\cdot t$$ Das Induktionsgesetz liefert dann die an den Leiterenden anliegende Induktionsspannung:

$$\begin{align} U_{i} &= -\dot{\Phi}\\ \, &= \cssId{Step1}{-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(B\cdot A_s\right)}\\ \, &= \cssId{Step2}{-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(B\cdot A\cdot\cos \varphi\right)}\\ \, &= \cssId{Step3}{-B\cdot A \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\cos(\omega\cdot t)}\\ \, &= \cssId{Step4}{-B\cdot A \cdot \left(-\omega\cdot\sin(\omega\cdot t)\right)}\\ \, &= \cssId{Step5}{\underbrace{B\cdot A \cdot \omega}_{U_0}\cdot\sin(\omega\cdot t)} \end{align}$$

Bei $N$ hintereinander geschalteten Leiterschleifen in Form einer Spule addieren sich die Induktionsspannungen der einzelnen Windungen. Die an den Spulenenden induzierte Gesamtspannung wechselt mit der Drehfrequenz $f=\frac{\omega}{2\pi}$ der Spule sinusförmig zwischen dem positiven und negativen Scheitelwert

erstellt von C. Wolfseher